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確率「To Be, or Not To Be」
難易度：★★★★ 　
?ジンベエ 2020/03/04 01:59
流石に不親切なので最終的に(1)~(3)を加えることになりました。

nを正の整数とする。
「ヤスシとトウヤ」が合計n人の友人に便りを出した。
n人の友人はそれぞれ1/2の確率で『招待に応じて「ヤスシとトウヤ」のもとへ集まる』。
招待に応じた友人が全員揃った状態で、「集まった友人とヤスシとトウヤ」を2グループに分けるという目的で、その場の全員でじゃんけんを行う。
例えば、Aさんが一人勝ちをすれば、Aさんだけのグループとその他の人たちのグループに分けられる。
じゃんけんは勝者と敗者のグループが決まるまで、つまりあいこが続く限り連続で行われる。
今、一回目のじゃんけんでグループ分けに成功する確率Pnを求めたい。

問題


(1) aを2以上の整数とする。a人でじゃんけんを一回行うとき、手の出し方は何通りあるか求めよ。
(2) aを2以上の整数とする。a人でじゃんけんを一回行うとき、勝負が決する場合は何通りあるか求めよ。
(3) aとbは1≦a≦bを満たす整数とする。それぞれ1/2の確率で招待客が応じる招待状をb人に送り、a人が応じる確率を求めよ。但し、答えにmCnのような組み合わせ(コンビネーション)の記号を用いてもよい。
(4)Pnをnを用いた式で表せ。但し、答えにmCnのような組み合わせ(コンビネーション)の記号を用いてはならない。

補足


・個々人は区別できると考えなさい。(追記より)
・解答は最終結果だけでも構いません。
・囁きの中で、PnをP(n)、mCnをC(m,n)のように表しても構いません。
・説明の中で総和記号を使いたいときはΣ[k=1→n]k2のように表記しても構いません。(ここではkは束縛変数)
(上の例は数列Ak=k2のk=1からk=nまでの総和)　但し、最終結果に総和記号を用いてはならない。

追記
3/4　個々人は区別できるものとして考えてください。
3/5　細かい表記を修正しました。
重大な表記ミスを修正しました。ごめんなさい。解こうとしていらっしゃった人はお手数ですが、もう一度問題文を読み直してください。
3/6　問題の補足を追加しました。問題の本質に変更はありません。
お知らせ
覆面算「スポットライトを独り占め その2」の解答公開を行いました。
それ以前の問題の解答も公開中です。
ヒントヒント【二項定理？】
Answer【(1)3^a通り
(2)3*2^a-6通り
(3)C(b,a)/2^b
b!/(b-a)!a!2^bも可。但し0!=1とする。
(4)(4/3)*(5/6)^n-(2/3)^(n+1)】
正解画像ヒントが1つあるよ
■
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