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このクイズの参加者（8人）
算数・数学クイズ
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 ミッション：ポッシブル
難易度：★★
 izos
2020/03/02 09:24
秘密組織 PMF から呼び出された。
『おはよう、ジェムズ・ポンド君・・・ 今回の君のミッションは次のとおりだ・・・ リーブラ国が保管している、ある容器に百円玉がいくつか入っている。 枚数は１～１００の間であることが分かっている。 そこで、我が組織としては、容器の中の枚数を天秤で測る必要がある。 そこで、百円玉200枚と、百円玉を一度に100枚まで入れることができる容器２０個を用意した。 そこで、容器に適当な数の百円玉を入れ、分銅をいくつか作って天秤で測れるようにしてもらいたい。 なお、用意した資材（容器と百円玉）が余ったら、それは君の収入になる。 なお、容器の重さは無視できるものとする。 なお、容器は一個 100円の価値がある・・・』 そこで、俺は可能な限り多くの儲けが出るように、容器に百円玉を入れ分銅を作った。 問題 ： 俺が儲けた額はいくらか？ そして、容器にどのように百円玉を割り振ったのだろう？ 解答例： 利益 5,500円、 容器１（１枚）、容器２（２枚）、容器３（３枚）・・・ ＊＊＊＊＊ 15:00 追記 ＊＊＊＊＊ 私の想定していた答えが間違っており、  >>1 に答えた yard さんの解答の方が正しかったです。 しばらくは、問題を続けて、yard さんの答えを 正解として判断させていただきます。
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回答募集は終了しました。
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利益 11600円（百円玉101枚+容器15個）
容器1（1枚）、容器2（3枚）、容器3（9枚）、容器4（27枚）、容器5（59枚） リーブラ国が保管している、重さが分からない容器を容器Xとする。 まず、容器1～4 で1枚単位で40枚まで量れ、これが理論値であるのは既知とする。 （この手の問題ではよくある印象） 容器Xの枚数は100枚以下であるから、とりあえず99枚まで量れる分銅構成を作ればよい。 （分銅全載せでも分銅側が軽ければ、求める枚数は100枚 これで1枚だけ節約） もう一つの容器に、59枚（59=99-1-3-9-27） の百円玉をまとめて入れて分銅5とする。 分銅1～4で 1～40枚、分銅5からの逆算で 41～59枚、分銅5との加算で60～99枚、 これで99枚まで1枚単位で量ることができた。 98枚以下の百円玉で99枚以上を量りようがないため、用いる100円玉を98枚以下にはできない。 また、分銅1個の置き方は「容器X側の皿に置く」「容器Xの無い皿に置く」「置かない」の3通りであるが、分銅4個で量れるパターンが3^4=81通りであるため、99パターン分けられない。作る分銅を4個以下にはできない。 これより、上の分銅の構成が最も百円玉、容器の数を減らせる構成の一つである。 
どんなシチュエーション？
izos
失礼しました
私の解答の方が利益が少なかったです。 yard さんの方が正解でした。 問題が間違っていましたが、 このまま、しばらく問題を続け、 後で、yard さんの答えを正解と して公開させて下さい。 
izos
失礼しました、
私の問題が間違っていました。 私の出した利益と同じでしたが、 最初に答えた、 yard さんの答えの方が、利益が大きく、 正しかったので、惜しいということで・・・
izos
もっともっと利益が出るはずです
11600
袋に入れる枚数は2,6,16,42,33 ±2±6±16±42(複号任意)は2から66までのすべての偶数をとりうる。 よって±2±6±16±42+33は35から99までのすべての奇数とりうる。 2から66までの偶数枚、および35から99までの奇数枚と大小を比べれば何枚なのかわかる。
あ、そうか。こうですね
 説明が雑ですが  すみません、囁きの「±○±△」の所は「(±○または0)+(±△または0)」の間違いです。 ↓構いません 
izos
正解を確認しました
出題が ボケ  ですいません。yard さんとは別の解なので、 発表時、オープンさせていただいても構いませんか？ １・４・１２・３６・４６の５箱を準備。百円玉101枚と、容器１５個が残る。
１１６百円の収益。 １～３６の４箱で、５３以下の整数と５４以上の整数の分別が可能。（２は天秤が釣り合う状況では計測できないが、１と３が計測できるので、整数である条件から判定可能。同様に６，１０，１４…５０も）４６の天秤を片側に加えることで、５４以上９９までの整数も同様に計測可能。 ＊９９と１００を分別するために、百円玉は全９９枚以上利用する必要がある。 ＊容器が４箱だと、釣り合う状況で正の整数を４０通り表現できないので、その間を使っても高々８１通りまでしか計測できない。
これ以上少なくできないことは証明したつもりですが
→ 解の公開はもちろんＯＫです。 数学的にエレガントな解でないことは明らか。 具体的には最初の容器の存在が無駄なのですが、分別すべきが「１００通りの判断」である限り最終的にこの種の分銅が必要になるはず、と考えてから試行した最初の思考を送っています。結果「50超」が実現できていたのでこれでいいかなぁと 最後一行は訂正、「最大＊＊通りしか表現できないので」です。 ４５通りではないと思います
izos
正解を確認しました。
yard さん、なるほど さんとは別の解でしたので、後でオープンさせていただきます。 証明ありがとうございました。 （４５通りの気がしますが私の理解不足？） ＝＝＝＝＝ ２／９追加 ＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 失礼しました。 組合せ仮定の中に、相矛盾するものが含まれていましたので、 ４５通りは無理がありました
izos
内訳は違いますが、
出題者の最初の間違った金額と同じでした。 もう少し利益が出るようです。 利益 11,600円， 容器1（1枚），容器2（3枚），容器3（9枚），容器4（27枚），容器5（59枚）．
枚数を求める容器を左に乗せ，容器1--5について，それぞれa--eの数字を，左に乗せる⇒0，乗せない⇒1，右に乗せる⇒2と決めます． 59 (e - 1) + dcba_3 - 1111_3 （_3は3進数を表します．） で1--99は表せますので，求める枚数が1--99のとき，つりあう(a, ..., e)があります． 全部右に乗せたときに左に傾くときは求める枚数は100枚です．
これでどうでしょうか？
izos
正解を確認しました。
yard さんと同じ内訳でした。 （あとでオープンさせていただきます）
izos
もっと利益が欲しいです。
ヒント１． １００枚あることは、９９より重いことで判断できます。 同様に．．．  ヒント２． 私の最初の予定していた答えは、 のり さんの今回の答えより容器が一つ少なかったです。 でも、最適解ではありませんでした 
利益：11，600円 硬貨99枚 容器5個
検算がまだですが、下記が出来そうかと… ２ ６ １８ ４６ ２７ ２ ６ １８ ３２ ４１ （２ ６ １８を使えば２～２６の偶数枚相当の重さに出来るのを利用） ２ ５ ９ ３２ ５１！ （こっちは>>5たっくん４さんの「50超を実現」をヒントに手探りで） Ｐ・Ｓ 重い方から考えたのが能率悪かったです。しかも５０ ２５を決め打ちしてしましました（泣き） 軽い方からやったほうが全然楽でしたね。たぶん２は確定でしょうし。
またしてもとりあえず利益と容器の内訳のみ。基本的な方針がダメダメでした
izos
お疲れ様でした
３パターンともに正解を（計測できることを）確認しました。 そして３パターンともに、今までにないパターンでした。 容器内訳は ２ ６ １８ ５４ １９
① ｘ枚と3x枚を用意すれば ｘ枚、2ｘ（左に3ｘ右にｘを置く）、3ｘ、4ｘ（左に両方乗せる） ② ｘ＝2つまり2枚と6枚を用意すれば2～8の偶数が測れる ③ と言うことは次に多い枚数の容器の枚数-8～+8枚が測れる ④ 8枚まで測れてるので次に測りたいのは10枚。-8で10枚になるのは18枚 新たに10～26枚の偶数が測れるようになる ⑤ 次に多い枚数の容器-26～+26が測れる。次に測りたいのは28枚で-26で28枚になるのは54枚 これで新たに28～80枚まで測れるようになる ⑥あとは99枚まで測れればいいので19枚を用意する。 これで新たに81～99枚が測れるようになり、1～100枚のすべての場合が判定出来る Ｐ・Ｓ 同じ理屈で１ ４ １２ ３６ ４６も出来るんじゃないかと思います。 となると２は確定じゃなかった！？
>>9は正解ではあったけど、どう考えてもあの流れならこの内訳と論理展開が自然だった
izos
分かりやすい説明ありがとうございます。
（出題者ではこのような説明は出来そうにありません） 両パターンともに測定可能なことを確認しました。 所で、最初のパターン（２，６・・・） の最後の分銅に１枚を加え、最後から２番目の分銅から１枚を差し引いても成立するようです。 更に、最後の分銅と最後から２番目の分銅の１枚を交換する操作を繰り返してもある程度までは成立するようです。 同様に、１，４・・・のパターンの、最後の分銅に１枚を加え、最後から２つめの分銅から１枚を差し引いても成立するようです。 更に、最後の分銅と最後から２番目の分銅の１枚を交換する操作を繰り返してもある程度までは成立するようです。 つまり、ある解答パターンが発見できれば、２つの分銅の１枚交換作業をすれば、ある程度まで正解数が増えて行きそうです。 利益：12100円
容器なしで、100円玉99枚用意し、１枚ずつ増やして量ればよい
どう考えても、前回の答えより容器１う減らすしかできませんでした。
反則技なので、ナスください  
izos
ご要望通りナスを差し上げます。
 『２枚ずつ』でもナスになりますね
izos
正解です
yard さん、a2wz0ahz さんと同じ組み合わせでした。 1、3、9、27、59枚ずつ入れて11600円
(これで1から99枚まではかれると思います)
両方の皿に乗せていいならこれではかれるはずです
もっと利益出るかもしれません
izos
返信遅れてすみません。
正解です yard さん、a2wz0ahz さん、らいおん丸 さん と同じ組み合わせでした。
最初に、出題者が用意した答えは、容器６個、百円玉９９枚でしたが、
それでは間違いだと、最初の解答者 yard さんの答えで気づかされましたが問題は継続することにしました。（yard さん ありがとうございました） 説明は、オープンした各解答者の正解をご覧ください。 容器数は、最低５個しかないことは たっくん４ さんの解答を参照してください。 補足： １． yard さん、a2wz0ahz さん、らいおん丸 さん、Aki さん 容器の内訳： 1,3,9,27,59 ２． たっくん４ さん, yoshida さん⑤ 容器の内訳： 1,4,12,36,46 ３． yoshida さん③ 容器の内訳: 2,5,9,32,51 ４． なるほど さん 容器の内訳: 2,6,16,33,42 ５． yoshida さん④ 容器の内訳: 2,6,18,19,54 ６． yoshida さん① 容器の内訳: 2,6,18,27,46 ７． yoshida さん② 容器の内訳: 2,6,18,32,41 ＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊ 容器の内訳パターンが結構あるので、あるツールでしらみつぶしに調べた所、 少なくとも、 ９０６パターンの組み合わせがあることがわかりました。 内訳パターン 一部紹介 No. 1: 1,2,8,22,66 No. 2: 1,2,8,23,65 No. 3: 1,2,8,24,64 No. 4: 1,3,7,22,66 No. 5: 1,3,7,23,65 No. 6: 1,3,7,24,64 No. 7: 1,3,8,21,66 No. 8: 1,3,8,22,65 No. 9: 1,3,8,23,64 No. 10: 1,3,8,24,63 No. 11: 1,3,8,25,62 No. 12: 1,3,8,26,61 No. 13: 1,3,9,20,66 No. 14: 1,3,9,21,65 No. 15: 1,3,9,22,64 No. 16: 1,3,9,23,63 No. 17: 1,3,9,24,62 No. 18: 1,3,9,25,61 No. 19: 1,3,9,26,60 No. 20: 1,3,9,27,59 No. 21: 1,3,9,28,58 (No. 22 ～ 891 略） No. 892: 2,6,18,22,51 No. 893: 2,6,18,23,50 No. 894: 2,6,18,24,49 No. 895: 2,6,18,25,48 No. 896: 2,6,18,26,47 No. 897: 2,6,18,27,46 No. 898: 2,6,18,28,45 No. 899: 2,6,18,29,44 No. 900: 2,6,18,30,43 No. 901: 2,6,18,31,42 No. 902: 2,6,18,32,41 No. 903: 2,6,18,33,40 No. 904: 2,6,18,34,39 No. 905: 2,6,18,35,38 No. 906: 2,6,18,36,37
解答公開お疲れ様です。正直、かなり苦戦した楽しい問題でした。
みなさんの回答を見て感嘆するばかり、特に容器4つで出来ないことの証明！ あとは1枚単位で量る人と2枚単位で量る人に分かれるのが面白いですね （自分は完全に2枚派だったとで、1枚単位で行けるのがかなり意外でした ）3，9，27や4，12，36など3倍数字パートが目立つようなので私の3ｘ作戦もそこそこいい考え方だったようで安心  |
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