フラクタルの応用でしょうか。

PC-9801のころだったか、そのようなフラクタル図形(3段階くらいまでですが)を描いてくれるデモソフトがはいってました。

>ＰＤＪさん
確かにフラクタルは「有限の面積の中の無限の長さの線分」の代表例ですね。

ちょっと問題文が説明不足だったようで申し訳ありません、
「どういう規則で線を引けば長さが無限になるか」という方向でアイデアをお待ちすることにします。
どうぞ宜しく

Q240の元締（？）として、考えさせてもらっているのですが……

『有限の面積を塗りつぶす』ようなイメージしか出来ず、とても苦しんでます
外縁部に当たらないよう、一定の規則を持って伸ばしていけるような線……
難しいですね


と、書いた直後に、ちょっと思いついたのですが……
イメージは、『うずまき』ですね。
法則は、まだちょっと説明できませんが

直線のつながりとは折れ線でもいいんですね
あと線は重なってもいいんですね

Ａ　・　　　　　　　　　　・Ｂ

いまＡとＢを線で結びます
だだしこのようなルールを決めます

　　　　　　　Ｃ・



Ａ　・　　　　　　　　　　・Ｂ



　　　　　　　Ｄ・

ルール
ＡとＢを線で結ぶ場合、
ジグザグになる新しい２点ＣＤを加え
CとDを通るように線をひく

さてルールに従いAとCを線で結びます
この時もルールが適用されます
つまりAとCの間に点Eと点Fが追加されます

線を引こうとすると
新しい２点が追加されていきます

線とは点の連続ですから
線を引くとはたくさんの点を書くことです
この無限に点を書いていく作業は
間違いなく線を引いているわけです

>水心子さん
「うずまき」・・なかなかシンプルで、奥深い図形ですね。

昔、人はは「うずまき」の永遠性に惹かれてし風呂敷とかの日用品の模様にしたという話を聞いたことがあります。

どんな「うずまき」なら長さが無限大になるでしょう？

>Mollyさん
なるほど、一本の線分をその「ルール」一回で２倍に出来るなら、どんどん倍倍に出来て長さはたちまち無限大のかなたへ行ってしまいますね。
２倍といわなくとも、折れ線にしていれば１倍よりは大きくなるわけですから、何回も掛け算すればやはり、長さは無限大です。

これはＰＤＪさんが言っていた「フラクタル」的名方法ですね。
一部が全体の形をしている図形になるでしょうね。

名だたる皆様とは意見が違うようなので、なんとも不安なのですが……

単純な足し算（または引き算）では、おそらく有限で終わってしまうかと思います。
また、中心点から外側へ広げていくとすれば、
外縁（正方形の各辺）に、いつか触れてしまうかと思います。

ですから、まずスタートは、正方形の辺上からで、
次第に中心へと向かっていくようにするしか無いかと思います。
その際の法則は……『すぐ前の曲線の何％か』という形で、その長さ（あるいは径）が決められるかと……

なんとも漠然とした回答で申し訳ありません

もっと簡単な方法を思いつきました

まず直径１ｍの円を書きます
そのまま連続して円に内接する正三角形を書く
そのまま連続して内接正方形、内接正五角形、
正六角形、正七角形、正八角形・・・・・・・・・・・・・・・・
無限に書き続けられます

＞水心子さん
この問題はそれこそ「無限に」回答があるかと思われますので、他の人と違っていても大丈夫です！
どんどんオリジナルのやり方を考えてください

中心から離れる描き方の規則だと、いつかは壁にぶつかってしまうと書かれていますが、本当に壁にぶつからずに広げていくことが
は出来ないでしょうか？

「外側の？％の曲線を内側にどんどん描いていく、」いう規則だと、確かに無限に内側に書き続けられますが、長さは無限大になるでしょうか？

例として、最初壁一杯の４ｍをかいて、内側には前の1/2の長さのものを書き続けていくと言う規則では、長さの合計は
４+２+１+１/2+1/4+1/8+・・・・
となって、どこかで見たような式になって、考えてみると無限大にはならないという罠があります。

＞Mollyさん
なるほど、正？角形はどんどん周の長さが増えていくので、増えていくものを無限に足せば長さは無限大になりますね。

他にも色々な回答お待ちしております。

一辺が１ｍの正方形の中心から，一つの辺に垂直な方向に25cmの線分を書きます。（つまり，辺と中心のちょうど半分の位置まで）
そこから中心を囲むように，外側の辺と平行なように線分を書いていきます。（中心と辺の中点を結ぶ感じ。）
で，一周する前の角は直進し，今度は外側の辺から12.5cmの位置で曲がり，また中心を囲むように･･･
と続けていくと，無限に線がかけると思います。
前に書いた線と，外側の辺の間に，線を引いていく感じです。
「うずまき」をキーワードに考えてみました。

こんな説明でわかるでしょうか･･･？

>風花さん
外側の「開いている空間」に渦をどんどん広げていく方法ですね。
無限に続けられるし、一周の長さは大きくなるので、長さは無限大になりますね。

さて、内側に向かう渦巻きでは長さが無限大になるようにはできるでしょうか？

風花さんの方法は
外周との距離を半分にしながら
四角い螺旋を書いていく
とてもうまい方法ですね

同じやりかたで
内側に向かう渦巻きも書けますね
はじめに中央に
正方形の穴をあけます
外側から四角い螺旋を書いていく
穴との距離を半分にしながら

＞Mollyさん
お答えありがとうございます。
が、残念ながら罠に引っかかってしまったようです。
外側から、ど真ん中と半分の場所に正方形を書き進めていくというやり方では、実は長さは無限大になりません。

外側から順に、正方形の周の長さは
4→2→１→1/2→1/4・・となっていきます。
これをどんどん足していくと８ｍに無限に近づくことになります。
内側に進むための道の長さも有限（1/2）なので、この曲の長さは8.5ｍに収束してしまうのです。

似ているやり方で線を延ばしていくのに、片方は無限に、片方は有限になってしまうのは面白いですね。

一般に、長さを前のもののｋ倍のものを内側に書き進んでいく渦巻きでは、合計の長さは有限になってしまいます。
他にいい方法はないでしょうか？

クラウさん　ここが大事です
>はじめに中央に
>正方形の穴をあけます

最初に真ん中ちかくの大部分を
ズボッと抜いて除外するんです

なるほど、項が０に収束しない形を作るんですね。ナイスな工夫です。
気付かずに的外れな突っ込み、申し訳ありませんでした

内側に向かう渦巻きで、
1/2+1/3+1/4+1/5+…=∞を利用する、などはどうでしょう？
("曲線"はなかなか思いつかないですね…)　

>Holly
それだ！というか今日それを例として取り上げようと思ったら先を越されてしまいました。
その分数の和が無限になることの証明が難しそうですが、別の話題になりそうなので他の場所でということで・・

変わりにこんな例はいかがでしょう。

ある頂点から、向かい側の辺の中点を結び、
＜前の点と反対側の辺上の頂点との中点を結ぶ＞
という規則で「ジグザグ」に線を延ばしていきます。
線分一本は１ｍより長いですし、無限に線を引き続けられます。

うずまき理論を考えているうちに、別のものを思いつきました

まず、正方形の左上の頂点を、原点０とおきます。
その０を起点として、正方形の辺上を時計回りに√２ｍ進みます。
そうして着いた点を仮に１番とします。
そして、原点０から１番まで、直線を引きます。

続いて、１番から、さらに時計回りに√２ｍ進み、
その到着点を２番とします。
そしてやはり先程と同じように、１番から２番まで直線を引きます。

さらに２番から√２ｍ進み、そこを３番として、２番から３番に直線を引き……
と、いつまでも繰り返していきます。

こうしていけば、新規に作られたＸ番目の点は、
それまでに作られた（Ｘ−１）番目までの、どの点とも重なることは無く、
従って、点と点とを結んで作られた直線は、
それまでに描かれたどの直線とも重なることは無いので、
無限に直線を引き続けられます。

……と、思うのですが、どうでしょうか？

＞水心子さん
おお、それはすごいですね！斬新です！
引かれる直線の長さは１ｍ以上なので、長さが収束することはなさそうです。（ここの説明は略します）

「点が絶対重ならない」というのも「無理数」の性質から説明できそうです。
ここのところの詳しい説明、お願いできますか？

クラウさんと似ていますが･･･

線を四角形の角から斜めに一辺の半分の位置（何分の一でもいいですが決めておく必要はある）まで線を引く。そこからまた同様に半分の位置（一辺の４分の一）まで斜めの線を引く･･･。これを無限に繰り返す。
線の長さは一辺の長さに無限に近づいていくが一辺より短くなることはない。そんな線が書けるかどうかは線の太さにかかっている。線の太さは、斜めの傾斜角(高さ)を上回ることはなく、その高さは、一本目は２分の１ｍ、二本目は４分の１ｍ･･･　ｎ本目はｎ分の１メートルで０になることはないので線を描くことは無限に可能となる。
もちろん線が重なることもない。
この問題は、長さが収束しないようにする問題だけでなく、線の太さを無限に０に近づける条件付けができるかという問題だと思われます。