a≠0として、二つの放物線をy=x^2……�@、x=ay^2+by+c……�Aとおいても一般性を失わない。
(∵放物線は互いに相似なので拡大・縮小、平行移動、回転移動によって他のケースも同様に対応できる。)
�@と(1/a)×�Aの辺々足し合わせたものを考えると、
x^2+y^2-x/a+((b/a)-1)y+c/a=0……�B(�Bはx^2+y^2+Ax+By+C=0の形で表されている。)
仮定より、�@と�Aが異なる4点で交わっているので、�Bは円を表している。
(�@∧�A)⇒�Bより、�Bがまさに�@と�Aの異なる4交点を通る円の方程式である。
以上のことより、題意は示された。

2つの放物線の軸がx軸,y軸になるように座標を定めると、放物線の方程式はy=ax^2+b,x=cy^2+d(a,b,c,dは定数,a≠0,c≠0)とかける。
放物線の交点の座標は方程式
c(y-ax^2-b)+a(x-cy^2-d)=0　…(*)
を満たすから、交点は(*)で表される図形上にある。
(*)の左辺はx^2,y^2の係数がともにac(≠0)で等しい2次式なので、(*)は円または1点または空集合を表す。
しかし、4つの異なる交点が図形(*)上にあるので、図形(*)は円になるしかない。
以上より、4交点は円(*)上にある。

「(*)の左辺はx^2,y^2の係数がともにac(≠0)で等しい2次式なので、(*)は円または1点または空集合を表す。」
と書きましたが、
「(*)の左辺はx^2,y^2の係数がともにac(≠0)で等しく、xyの項がない2次式なので、(*)は円または1点または空集合を表す。」
に訂正します。
要は平方完成して(x-p)^2+(y-q)^2=rの形にできるということです。

放物線の各軸をy軸、x軸とするxy平面を考える。

各放物線の式は、下のように表される。
y = ax^2 + x + b ...(1)
x = cy^2 + y + d ...(2)

(1)*c + (2)*a を変形すると、
acx^2 + cx + bc + acy^2 + ay + ad = 0 ...(3)

この式は(1),(2)を満たす円の方程式である。
2つの放物線が異なる4点で交わるならば、それらは全て(3)上の点である。
よって、対称軸が直交する二つの放物線が異なる4点で交わるとき、この4点を通る円が存在する。