ではまず、有限世界で生きている私が

1）
真正面から計算していくと、一項進むごとに、答えが１，２，１，２，１……と繰り返されます。
よって、最後の項が『＋１』（項の総数が偶数）であれば『２』
『−１』（項の総数が奇数）であれば『１』になります。


……直感的には、これで間違いないように思えるんですが……

解いていた方々すいません、１)は、問題を間違えていました。
訂正しておきます。

1)
真正面から計算していくと、一項進むごとに、答えが１，０，１，０，１……と繰り返されます。
よって、最後の項が『−１』（項の総数が偶数）であれば『０』
『＋１』（項の総数が奇数）であれば『１』になります。

と、訂正しておきます。

無限の世界になると，項の総数が偶数か奇数かが規定されないので，解は１つに定まらない，となるのでしょうかね･･･？

当然私が考えたものではないですが面白い解答もあったので書き込んでみます。
（水心子さんの解答に加えて第三の解法）
１−１＋１−１＋・・・＝Ｓとすると、
１−（１−１＋１−１＋１−・・・）＝Ｓ
（）の中もSと置き換えられるので　　　　　　　　
１−Ｓ＝Ｓ
２Ｓ＝１　　　　よって、Ｓ＝1/2

ま、結局「収束しない」が結論らしいですが1/2って凄いですよね。

皆様正解です。
一応僕が考えていたのは水心子さんのものですが、ひでぽんさんのもありますな。
なぜこうなるかは不思議ですし、それこそ解が無限にある気がして怖いです。

ちょっと大げさな細かい話になっちゃいますが、「無限の足し算」の「＝」の先の数の意味は

「限りなくある数に近づく」

という意味で使うことになってます。
そういうことがなければ
「無限に大きくなる」・・∞
「無限に小さくなる」・・-∞
「プラスマイナスは分からないが無限に０から離れる」
「その他」・・答えは決まらない
のどれかに当てはまります。
この問題の場合「その他」になってしまいますね。
式は綺麗なのに、余り気持ちよくはありません

＞１−１＋１−１＋・・・＝Ｓとすると
左辺が収束しないのにSとかおくのはナンセンスです。Sって何ですか？

＞１−（１−１＋１−１＋１−・・・）＝Ｓ
無限級数のとき加法の順序を変えると和も変わりうるのでこれはまずいです。和が変わらないのは有限のときです。

＞ひでぽんさん
＞・・・さん
このＳとおくというやりかたは「ひっかけ」ですね。
一見それっぽいですが、・・・さんの言うとおり正しいやり方ではありません。
これが出来るなら、例としてこんなことも出来てしまいます。

全ての自然数を合計する。
1+2+3+4+5+・・・・＝Ｓとおく
このとき、全ての偶数の和は
2+4+6+8+・・・
となり、ちょうど全ての項が順番に上の式の二倍になっているので
2+4+6+8+・・・＝２Ｓ
となることが言える。

全ての自然数の合計から全ての偶数の合計を引くと全ての奇数の合計となる。
よって、全ての奇数の合計は
Ｓ-２Ｓ＝-Ｓとなる。

・・奇数を合計したらマイナスになっちゃいました
安易に無限の足し算の合計（？）をある値と仮定してはいけないということですね。

＞・・・さん、クラウさん
そうだったんですか・・・
確かにクラウさんの例のようにおかしくなってしまいますね。
どこかでこういう解答を見て「胡散臭いけど間違いが見つからない」と思って書いてみたのですが思い切り間違いだったのですね。
ご指摘、ご教授ありがとうございました。

＞ゆたさん、皆様
間違いを垂れ流してしまい申し訳ありませんでした。お詫びいたします。