これが最も小さいかどうかはもっと吟味する必要がありますが、

1237696488　

は、近い値かな。
10桁にはなると思います。

上記の予想、変更します。

1234697688

手作業で探しているので、もっと小さいのがあったら、また変更するかもしれません。(これで最小だと思うんですけどね。)

なお、10桁になることの説明を
9の倍数になるためには各桁の数を足したものが9の倍数でなければならない。
各数字1回ずつ使って8桁の数を作ると、各桁の数の合計は40となり9では割り切れない。
もう一桁増やすとすると、合計が45になるようにすべきだが、5はないので不適。
10桁にして合計が54になるようにする。使用する数字は6,8あるいは7,7。

ということで、検討中なのですが。

とりあえず５０４で割れれば成功ですね。
これから考え始めますが、１０桁で合計が４５でもいいんじゃないですか？

そういえば、そうですね。
あとは、お任せします。

やっと出来ました。電卓大活躍でしたが、電卓無しで良いとき方はあるのかな・・

とりあえず、方針は
・１０桁で合計４５となる（1123446789）の１０個の数字を使う（1は多いほうが小さい数を作れる）
・↑の条件から９では既に割り切れる
・よって、７と８で割り切れれば良い（他の数はこれらの積の約数）

で、112344????となる数で、７，８で割れる数がないかを探します。
見つかれば、その中で最小なら全体でも最小のはず。
８で割り切れる条件は「下３桁が８の倍数」なので、残りの数字6.7.8.9を使うものでは
「968」「976」「768」だけが該当します。
このとき、下４桁がそれぞれ決定しますので、
全部調べた結果

1123449768

が求める数字だと分かりました。ふー

＞PDJさん、クラウさん

お疲れ様でした

考え方は、お二人がおっしゃる通りです。

９で割り切れる数、８で割り切れる数の見分け方は、
お二人が解説してくださっている通りです。
７の倍数は……手間ですが、電卓しかないようですね

ちなみに補足しますと、

９で割り切れる → ３でも割り切れる
８で割り切れる → ４でも、２でも割り切れる

また、２でも３でも割り切れる → ６でも割り切れる

ということですので、９，８，７で割り切れる数を探せば良いということになります。