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 教えてください
難易度：
 ひでぽん
2005/05/19 15:04
昔出された問題でいまいち納得ができなかったものがありまして（納得いかない原因が私の数学能力にある可能性は多分にありますが
 ）、簡潔明瞭に説明いただけたらと思います。目の前に封筒が２つあります。（AとBとします。） 「中にはお金が入っています。どちらかを差し上げます。AにはBの半分、または2倍の金額が入っています。言い換えればBにはAの半分又は2倍の金額が入っているともいえます。では、AかB好きな方を選んでください。」 と言われとりあえずAを取りました。中には1万円入っていました。 「もし望むなら今からBと変えてもいいですよ。」 と言われ考えました。 『Bには2万円か5千円入っている。確率は半々。だから期待値は2万5千÷２で1万2千5百円か。』と考えBを取ろうとしました。 しかし『待てよ？もし先にBを選んでいた場合を考えてみよう。Bの金額は2通りあるから・・・・』 『まず5千円だった場合。Aは1万円か2千5百円。Aの期待値は6千2百5十円。Aを選んだ方が良い。』 『次に2万円だった場合。Aは4万円か1万円。Aの期待値は2万5千円。やはりAが良い。』 『ん？先にAを選ぶとBが良くて、先にBを選ぶとAが良いことになる。となると結局どっちを取った方がいいのだろう？』 と言う問題なのですが如何でしょうか？ 内容がわかりづらい等ありましたら仰ってください。よろしくお願いします。 解答は返信中にあるかも。答えがわかったり、誰かに解いて欲しいときは右上の
 から教えてね。 |
回答募集は終了しました。
えーと，損得をわかりやすく考えるなら，こんな考え方もあります。
封筒の中には１万円。封筒を変えたとして， 得をするときには＋１万円です。 これに対して，損をするときには−１万円ではなく，−５千円で済みます。 さて，どうします？
＞風花さん
早速、読みづらい問題にお付き合いいただき感謝です。  一瞬期待値12500なので「変える！」と言いたいところです。 ところが時間を戻して、もしもう一つの封筒を先に取ったとしたらどうでしょう？ case1 5000円だった場合。期待値7500円なのでやっぱり変えます。 case2 20000円だった場合。期待値22500円なのでやっぱり変えます。 つまりどちらの封筒を先に取っても変えたほうが得、ということにならないでしょうか？ 私にとっては凄い不思議に思うのですがどうなんでしょう？ 
判明している状況が，
1)自分の金額 2)もう一つの封筒は2倍か半額（確率は50%） 封筒が「損」と「得」の2種類として，最初に取った封筒が「損」か「得」かは確率2分の1です。 確率は2分の1なのに，変えた方が良いように思うのは，「損」→「得」になる場合のメリットが「得」→「損」になるときのデメリットよりも大きいと判断するからです。 最初に「損」を選んでいたとすると，封筒を変えると2倍になります。 最初に「得」を選んでいたとすると，封筒を変えると2分の1になります。 2分の1になるデメリットよりも2倍になるメリットの方が大きければ得だと考えるとします。 期待値で判断するなら，(2a+0.5a)/2＞aとなるのはあきらかなので，常に交換した方が得（期待値が高い）ということになってしまいます。
＞風花さん
ありがとうございます。その説明のおかげで私の「もやもや」が簡潔に提示できそうです。（まだもやもやかい。） >>3の結論を踏まえて・・ 式にすると 1.25A=B 1.25B=A というように解がなくなってしまいませんか？（金額は自然数とする。） それとも期待値で考えること自体間違いなのでしょうか？ もうちょっとお付き合い頂ければ幸いです。<(_ _)>
横からごめんなさい
おそらく、『期待値』の取り方が、微妙にズレているのでは無いかと思います。 数直線で考える方法もあるかと…… 論がまとまりませんので、とりあえず予告編まで
ＡかＢかの最初の選択を１回目の選択とします
そこでＡを選びＡには１万円入っていました ここでＢの封筒は回収され そこで新しい賭けが提示されたとします ２万円の封筒Ｃと５千円の封筒Ｄが用意され どちらかを１万円と交換できる これが２回目の選択です もちろんこの賭けは乗ったほうが得です 問題のケースでは ２万円か５千円か判らないＣとＤの封筒を １回目の選択に使ったＢの封筒で 代用をしているだけです 賭けの内容自体は同じですね 考えてみれば１回目の選択の時は Ｂはまったく中身が不明の封筒です ２回目の選択では Ｂは２万円か５千円のどちらかです １回目と２回目ではＢの封筒の意味が 全く違います たまたま道具として用意されているのが ＡとＢの２つの封筒だけなので はじめから単純な二者択一の問題のようにに見える それで「あれっ？どっちでも同じなのか」と思えてしまいます でも実は １回目の選択と２回目の選択という まったく性質の違う２回の選択が行われているのです
＞水心子さん
色々な方のご意見をお聞きしたいので是非お待ちしています。  ＞Mollyさん ありがとうございます。 ふむふむ。過去に戻って選んだら、というたらればは意味がないということですね。確かに金額を片方見ちゃうとそれも一理ある気がします。 では、同条件でAとBを選ぶ時（まだ金額どちらも未定）・・・ 鈴木君（仮）はAをまず選ぼうとしたがBの方が1,25倍期待値が高いので、Bを選ぼうとしました。 ところがBから考えるとAは1,25倍期待値が高い。またAに手を伸ばしかけてまたBのほうが高いことに気づき・・・・と、永久に決まらなくなるような気がしてきませんか？胡散臭いと自分でも思ってはいますが・・・。 まだもやもやは晴れませんが、皆さんのおかげで前進してるという手応えは感じています。 色々なご意見お待ちしてます。
>では、同条件でAとBを選ぶ時（まだ金額どちらも未定）・・・
>永久に決まらなくなるような気がしてきませんか？ １回目の選択では何の手がかりも期待値の計算もできないのですから 当然迷いますね それは片方が０円、片方が１００万円の時と同じ迷いかたです 何の手がかりもないから運まかせでしか決められません ２回目の選択になってはじめて期待値の計算が可能になり 別の封筒を選ぶと有利という判断ができます
＞Mollyさん
再びどうもです。 ＞片方が０円、片方が１００万円の時と同じ迷いかたです うんうん。私も普通にこういう提示をされたらそう思いますね。はい。 ＞何の手がかりも期待値の計算もできない 見当違いだったら指摘返しして下さい。 まず>>7の「同条件」と言うのは「どちらかがもう一方の倍の金額が入っている。」と言う前提条件を指しています。 そこは問題ないですか？（あったら書き方が悪かったので申し訳ないです。） この「条件」だとAから見たB、Bから見たAは互いに期待値1.25倍にならないでしょうか？ 「ならない」ことがはっきりすれば解決ですね。
>この「条件」だとAから見たB、Bから見たAは互いに期待値1.25倍にならないでしょうか？
1.25A=B 1.25B=A A=B=∞ 期待値を計算するとこうかな AもBも限度額が無いわけだから ここで仮にAもBも100万円以下だとする そこで１回目の選択の前に (1)はじめにAを選んで 絶対変えない時の期待値 (2)はじめにAを選んで Bに変えるときの期待値 この２つを計算すると同じになるはずです Aが500001円以上の時はBに変えると損になるわけです ということは１回目の選択では限度額がなく AもBも期待値が∞であることがポイントですね Aの期待値もBの期待値も∞だから同じ それで 1.25A=B 1.25B=A が成立してしまう
とりあえず要点のみですが。
最初の問題に関しては、Bが５千円か２万円、と仮定した時点でAが１万円という情報を使っているので、さらにAが別の金額の可能性を考えるのは無意味です。 次に、後の問題について。 Aが１万円のとき、Bが５千円の確率とBが２万円の確率は一般的に等しくなりません。ここで平等性を勝手に仮定しています。 仮定した平等性は自然のように見えますが、Aが任意の金額のときに成り立つとして拡大すると、Aの分布は非常に不自然なものとなります。従って私の解釈では平等性の仮定が誤り、ということになります。
日を改めて見直してみると私が解答をわかってないだけあって問題の出し方等ぐだぐだですね。
そんな中色々な方に解説いただき真に感謝です。<(_ _)> ＞Mollyさん ＞この２つを計算すると同じになるはずです これは・・後で計算してみます。 ＞Aの期待値もBの期待値も∞だから同じ なるほど！∞が解としてありましたか。これは少なくとも私の中では納得です。ありがとうございます！ ＞Isacさん お答えいただきどうもです。 ＞さらにAが別の金額の可能性を考えるのは無意味 ふむふむ。Mollyさんの仰った「性質の違う２回の選択」と同義ですよね？ では、最初の設問は無意味と言うことでやはり良いわけですね。なるほど。 ＞平等性の仮定が誤り、ということになります。 水心子さんも似たようなことをちらっと仰ってますね。まだ理解が私の中ではできてないのですが。 ＞Aが任意の金額のときに成り立つとして拡大すると、Aの分布は非常に不自然なものとなります これがその説明ですよね？う〜む、難しい。ちょっと調べる＆考えて見ます。 ありがとうございます。皆様の解説の意味で私の中で不明なところを考えて見ます。引き続きご意見があればよろしくお願いします。<(_ _)>
皆様の意見と重複している部分が多々ありますので、
勝手ですが、私の考えを記すのはパスさせていただきます ……と、思いましたが。とりあえず一言を 何の条件も無い初期状態において、 ・Ａの視点から見て、Ｂの方が1.25倍高い ・Ｂの視点から見て、Ａの方が1.25倍高い というのは間違いないことかと。 ですが、一度視点を決めてしまうと、対称性が失われてしまいますので、 ・（交換後）Ｂの視点から見て、Ａの方が1.25倍高い ・（交換後）Ａの視点から見て、Ｂの方が1.25倍高い というのは、言えないと思います。
水心子さんもありがとうございます。
私の中でも少しまとまってきたので私なりの言葉でまとめてみます。 １、最初の問題文の場合 AからみてBは期待値は１,25倍だがAは一万円と決まってしまったのでBからみてAの期待値云々は意味がない。（強いて言えば期待値は一万円。） ２、>>7のように金額がどちらとも未定の場合 どちらからみてももう一方の期待値は１,２５倍だが金額が無限大まで可能性があるので金額で考えても意味がないというか、仕方がない。 ３、２のケースで上限がある場合 >>10でMollyさんが仰ったように開いた封筒の中が上限の1/2以下なら変えたほうが得。1/2より大きければ変えないほうが得。 （例、上限１０万だとして開いた封筒に６万入っていたらもう一方の封筒は３万or１２万のはず。だが１２万のはずがないのでもう一方は３万と決定される。だから変えないほうが得。４万なら２万or８万だから期待値は５万。だから変えたほうが得。） こんな感じでしょうか？間違っているようでしたらご指摘頂ければ幸いです。 合ってるようでしたら「合ってる。」というレスを頂ければそれをもってロックします。 数学が苦手な私にお付き合い頂き、親切丁寧にご教授いただいた皆様、本当にありがとうございます。
間違っているというか、どうやら私だけが意見が違うようなのですが、
私は、（両方の問題共に）AからみてBの期待値が1.25倍である、という考え方に否定的な立場です。 Aが1万円と判明、あるいは仮定したとき、Bの金額は2万円または5千円ですが、それぞれの確率についての情報は存在しません。 したがって、Bの金額について確率的なことを論じる（＝期待値を計算する）ことが不可能と考えています。 数式化すると返ってわかりにくいかもしれませんが、やってみます。 Aの金額を固定した場合のBの金額の確率は条件付確率になるはずなんですが、Aが1万円という状況を想定すると、 事象B1＝2つの封筒の中身が（5千円、1万円） 事象B2＝2つの封筒の中身が（1万円、2万円） だけを考えればいいことになります。問題文で与えられる確率に関する情報は、 事象A1＝引いた封筒の中身が1万円 としたときに、 Pr(A1｜B1)＝1/2 Pr(A1｜B2)＝1/2 ということになります。 ここで、Bの期待値は、 E(B)=5千円×Pr(B1｜A1)＋1万円×Pr(B2｜A1) で与えられます。従ってPr(B1｜A1)やPr(B2｜A1)がわからなければ計算できません。これらを求めるにはPr(B1)やPr(B2)が必要になりますが、これらの確率に関しては情報が全くないのですから、期待値が計算できるはずがないのです。
えーと・・・封筒にお金を入れた人がBに５千円入れた、または１万５千円入れた確率はフィフティーフィフティーとは限らない。ということでしょうか？
例えばけちな人だったら５千円入れてる確率が高い、とかそういう意味でしょうか？違うだろうなぁ・・・ 万が一そういう意味だった時のために。 違ったらスルーしてください。「入れる人はランダムに入れた。（当然どちらかがどちらかの２倍の法則は守った上で。）」と言う注釈を加えれば計算できるようになるものでしょうか？
入れる金額がランダムに決められていて、その確率が明らかになっていれば計算可能です。
しかし、単純にランダムとだけいわれても、どのようにランダムかがわかりませんので、その注釈だけでは不十分です。 例えば、少ない方の金額を1円から100万円まで等確率に決める、というようにすることはできます。このときは、いままでの議論にある、上限のある場合と同様のことが考えられます。 ところが、ここで上限をなくし、1円から∞円まで等確率に決める、ということは不可能です。
やっと（本当にやっとですが）Isacさんの仰りたいことが見えたような気がします。
∞だから、というのがキーなんですね。うーん∞の考え方が苦手なのでちょっと調べてからまた返答、質問させていただきます。
とりあえず考えてみました。がやっぱり質問の形になってしまいました。すみませぬ。
>>14の１のケースであれば「Bの封筒にはAの封筒に入れた金額の２倍か1/2を等確率で入れた」と言う注釈を加えればいいということでしょうか？（人間が等確率で入れるってぇのも変な話ですが。 ）２のケースが難しいのですが％がどんどん引き伸ばされて０になるので％を取り得ない、という解釈でいいのでしょうか？
「Bの封筒にはAの封筒に入れた金額の２倍か1/2を等確率で入れた」
ということは、Aの金額を決定したときのBの（条件付）確率が与えられているということになります。 このとき、Aの金額をaに固定すればBの期待値は1.25aになります。 ただし、逆にBの金額を固定してもAの確率は出てきません。 ２のケースは、平たく言えばそういうことになると思います。
たびたび横からすみません
私も最初、Isacさんのご意見のように、 単純に期待値を計算したことが誤りかと考えましたが、 上手く説明できそうにないので、結局その論は捨てることにしました。 というのも、ＡとＢの非対称性を、最初の段階で上手く説明できそうに無かったからです。 で、ひでぽんさんには申し訳ないのですが、 私の全くの理解力不足のため 『どの部分が問題なのか？』と『何が問題なのか？』の見極めが付きませんので、 問題を分解してみても良いでしょうか？
終わりかけている問題を、個人的なことで無理やり蒸し返してしまい、
本当に申し訳ありません 私の頭は本格的に鈍いので、まず最初の問題から分解させてください
とんでもない。私もまだMollyさんの期待値無限大もIsacさんのそもそも期待値が取れない、どちらも納得してしまいどちらが正しいのか、もしくは両方とも正しいのかもわかっていませんので。それに水心子さんの頭が鈍いのなら私の頭はもうご臨終です。
 えーと、分解は私がするんですよね？ 私が最初に疑問に思ったことを書けばいいのでしょうか？ では皆様に教えていただく前の私が抱いた最初の問題の疑問。 １まずAに一万円入っていた。 ２Bは５千円か２万円のはず。期待値上は変えたほうがいいと思った。 ３でももしBからとっていた場合、今度はAが金額不明になる。Bの中身は５千円か２万円。とするとAの中身の期待値は前者なら７千５百円、後者なら２万５千円。どちらにせよ変えたほうが得。 どちらにせよ変えた方が得といっても、もう封筒にお金が入っちゃってるのにおかしくないだろうか。というのが疑問点でした。 という問題でしたがAが一万円という前提だったのを無視して考えるということは別のケース（Bが５千円のケースと２万円のケースで共にAは不明）の問題を考えただけ。だから同一のケースと考えている問題がおかしい。ということですよね。 って私、頓珍漢なことをいってます？
＞ひでぽんさん
お付き合いいただき、ありがとうございます ひでぽんさんが挙げてくださったものを、私なりに再分解してみますね。 作業１，封筒が２つ（ＡとＢ）用意された。 条件ア，「どちらでも好きな方の封筒を取得できる」 条件イ，「片方の封筒の中には、もう片方の半分もしくは２倍の金額が入っている」 作業２，封筒Ａを選ぶ。 作業３，封筒の中身を確認。中身は１万円。 思考Ａ，『Ｂには５千円か２万円が入っているだろう』 思考Ｂ，『Ｂの中身が５千円か２万円か、確率は50％である』 思考Ｃ，『期待値を計算すると、20,000＋5,000/２＝12,500円だろう』 事実α，ところが、手元にあるのは１万円である。 思考Ｄ，『交換後の期待値は12,500円であり、手元には10,000円なので、交換した方が得である』 思考Ｅ，『仮に〔作業２〕でＢを選択した場合、対称性が成り立つので、やはり交換した方が得である』 思考Ｆ，『どちらを選んでも、交換した方が得ということは、不自然である』 結論，『この話は、矛盾を含んでいる』 ……というようにしてみました。 これで、攻撃すべき点がはっきりするかと思います。 もし、間違い等がありましたら、お手数ですがご指摘をお願いします
こちらこそお手数をおかけしました。
なるほど。こうするのが分解なんですね。うん、見やすいですね。勉強になります。次のケースからは真似させていただきます。 これで間違いございません。では、攻撃をお願いします。 
では、風呂敷を大きく広げましたので、たたむ作業を
まず単純に、『作業』パートと『事実』パートに対する反論（否定）は、 非常に困難かと思います。 同じく、『条件』パートは、すでに提示されてしまっていることなので、 これも反論（否定）は、無理でしょう。 となれば、『思考』が問題となるわけですが…… そこだけに絞って、推論の仮定を、もう一度分解させてください
思考Ａ『Ｂには５千円か２万円が入っているだろう』
根拠：〔作業３〕の結果と、〔条件イ〕より 思考Ｂ『Ｂの中身が５千円か２万円か、確率は50％である』 根拠：〔作業１〕と〔条件イ〕より 思考Ｃ『期待値を計算すると、20,000＋5,000/２＝12,500円だろう』 根拠：【期待値の計算法】と、〔思考Ｂ〕より 思考Ｄ『交換後の期待値は12,500円であり、手元には10,000円なので、交換した方が得である』 根拠：〔事実α〕と〔思考Ｃ〕より 思考Ｅ『仮に〔作業２〕でＢを選択した場合、対称性が成り立つので、やはり交換した方が得である』 根拠：〔作業１〕と〔思考Ｄ〕より 思考Ｆ『どちらを選んでも、交換した方が得ということは、不自然である』 根拠：〔思考Ｅ〕より 結論 『この話は、矛盾を含んでいる』 根拠：〔思考Ｆ〕より この中において、 『思考内容そのものに、妥当でない部分がある』 『根拠→推論の仮定に、妥当でない部分がある』 のどちらかを示すことが出来れば、この問題については、解決だと思います。
では、
＞『根拠→推論の仮定に、妥当でない部分がある』 の方向で。 ＞思考Ｂ『Ｂの中身が５千円か２万円か、確率は50％である』 ＞根拠：〔作業１〕と〔条件イ〕より 作業１により２つの封筒が用意されたから、この封筒のどちらかを選ぶときに確率が５０％といえる。 しかし、封筒の選択は終わっており、現在は封筒Bについてのみ考える状況である。従って作業１を直接の根拠として５０％という確率は出てこない。
加えて
「思考Eにおいて対称性は無い。事実αによりAは一万円。」 の２点が間違っている。 という感じですかね。 と思ったのですがIsacさんの証明によってこの考え自体意味が無い・・・か・・・
＞Isacさん
ご協力ありがとうございます なるほど、おっしゃる通り、〔作業１〕を根拠としては、 〔思考Ｂ〕には繋がらないかと思います。 では、〔作業１〕では無くて、〔条件イ〕のみを根拠としてみても、 やはり〔思考Ｂ〕は成り立たないのでしょうか？ つまり、 『封筒Ａ（一万円）から見て、封筒Ｂの中身は、 五千円であるか、二万円であり、この両者は、 他に判断材料が無いので、確率的には半々で存在し得るのではないか』 という考え方は、妥当では無いのでしょうか？ ＞ひでぽんさん 勝手に進めてしまい、大変失礼しました おっしゃる通り、Isacさんの論が正しければ（〔思考Ｂ〕に誤りがあるならば） それを根拠にした以下の論証は、無意味になりますので、 わざわざ〔思考Ｅ〕を攻撃する必要は無くなりますね
条件イから可能性を２つに絞った結果が思考Aなんだから、思考Bでは条件イなんて使ってないと思います。
「確率半々で存在し得る」という結論は妥当ですが、ここでは「確率が半々である」ということを導かなければいけません。 そうでなければ期待値の計算はできず、思考Cにつながりません。
たびたびありがとうございます
『確率半々で存在し得る』ことと、 実際に『確率が半々である』ということは、 厳密には違うということでしょうか？ 逆から言えば、 『確率50％とは確定できない』ということは、 『50％以外の確率が存在する』のでしょうか？ それとも、『この条件下では、確率は存在しない』 ということなのでしょうか？ 頭の悪い質問ばかりで、本当に申し訳ありません
厳密な話は「確率的に半々に存在する」の定義をはっきりしてもらわないとできません。
私は「確率的に半々に存在する」が「確率が半々である」とほぼ同じ意味と解釈し、「〜し得る」という弱い主張なら妥当と判断したまでです。 ＞『確率50％とは確定できない』ということは、 ＞『50％以外の確率が存在する』のでしょうか？ ＞それとも、『この条件下では、確率は存在しない』 ＞ということなのでしょうか？ 「確率の存在」も疑わしいところではありますが、ここでは「５０％以外の確率が存在”し得る”」ということでいいと思います。
進めてもらって申し訳ないです。
Isacさんが解説しているのにしゃしゃり出るのもなんですが、Isacさんに教えてもらった事の私なりの解釈を。 まず前提として「倍か半分入れる」という行為はどちらかの金額が決定してはじめてできる行為である。（これが間違ってるようでしたらご指摘ください。）それを踏まえて。 １a、Aから金額を決めた場合ならBの金額を半々の確率で決められる。 １b、Bから決めた場合、Bの金額はAから見ての半々の確率で決めることができない。（先に決めたので当然ですが。） よって１ｂによりABにお互い半々の確率で「倍か半分入れる」ことは不可能となる。ただしどちらかからみてもう一方に半々の確率で入れることはできる。（ただしこの問題文にその注釈ははいっていない。） なので「Bの封筒にはAの封筒に入れた金額の２倍か1/2を等確率で入れた」と注釈を加えればBの期待値はAの１、２５倍と言える様になる。 と解釈したのですが如何でしょう？
＞Isacさん
ありがとうございます。 『厳密に決定できる状態』までいかなければ、 『確率というものは論じることが出来ない』ということで、理解しておきます。 ＞ひでぽんさん 出題者様を差し置いた上、とても遅い進行で申し訳ありません どうやら、ひでぽんさんは納得されているようですので、 私はこの辺りで引いた方が良いかと思います。 正直に言えば、まだ理解しきれていないので、 質問したいことはたくさんあるのですが、 それはこの場でやるべきことでは無いと思いますので。 お目汚し、失礼しました
＞水心子さん
確率を論じるにはそれなりの根拠がいる、と言ってるだけなんですが。 元の問題では金額について確率を論じるだけの根拠が与えられていなかったということです。 ＞ひでぽんさん 残念ながらその前提は正しくありません。 金額のペアを確率的に（例えばくじびき等）決めることができますので。 従って>>36の方法は金額の決め方の一例に過ぎないのです。 金額の決め方を入れて期待値等を計算していくと、最終的には矛盾無く終わるはずです。 いちいちそれを見ていくと問題が広がりすぎますのでここではやりませんが、いくつかの可能性について考えたんで、そのうちまとめてみようと思っています。
＞Isacさん
何度も申し訳ありません Isacさんのおっしゃる『それなりの根拠』というものが、 おそらく私にとっては『厳密に決定できる状態』なのだと思います。 私は今まで、この問題のような状況の二者択一は、 何も考えずに双方50％だと信じていましたし、 まして、確率ｐは（疑わしいながらも）存在し、それが０≦ｐ≦１の値をとるであろうと考えられるにもかかわらず、 ｐでは期待値の計算が出来ない、という状況が、 いまだに信じられない状態ですから Isacさんのように正しい認識を持っている方からすれば、なんとも妙な疑問を持っているように見えるかもしれませんが、 残念ながら、これが私の現状です 変な質問に対し、何度も懲りずに答えてくださって、 本当にありがとうございました
いや、確率をｐとすれば期待値をｐで表せますね。
となると、 ＞確率を論じるにはそれなりの根拠がいる というのは少し言いすぎでした。 「それなりの根拠が無ければ確率を決定できない」 と、修正します。 また、金額の決め方が確率的でない場合は、「確率１００％で決定する」という置換えが可能ですので、 確率ｐは存在するものとして問題はなさそうです。 ただし、期待値をｐで表しても、ｐについてほとんど何もわからないので、推論は先に進まないと思います。
うーむ。お二人の意見を咀嚼するのに時間がかかりますな。
>>36はお二人の仰る内容から少しずれていた気が今してきました。＞Isacさん 折角教えていただいてるのに間違って解釈してましたか・・申し訳ないです。「２５０−５００」とか書いた紙を入れてのくじ引き等にすれば同時決定できるということですね。（現実には上限が無いので不可能でしょうが。） コインの裏表では特に注釈が無ければ５０％と考えるのが一般的なので、水心子さんの仰る５０％と考えてはいけないのか、というのもわかりますので、Isacさんの仰る５０％にならない金額の決め方を一つ実例を挙げていただけると助かります。それによって何か見えてくるかもしれませんので。<(_ _)>
＞Isacさん
何度も本当にありがとうございます 丁寧な解説は、とても勉強になります。 ＞ひでぽんさん 難しい言い回しをしてしまっているだけですので、 話の内容は、それほど難しくはないかと思います。 私が、ちょっと考えたことを以下に書きますと、 １，半額になる確率は、０％から100％の間である。 （言い換えるならば、確率をｐとすると、０≦ｐ≦１である） ２，逆に、倍額になる確率は、100％から、半額になる確率を引いたものである。 （倍額の確率は、『１−ｐ』である） ３，ところで、期待値ｑは、１万円であることが望ましい。 （私が前述した分解の〔思考Ｆ〕を認めるならば、ですが） ４，ところが、先に期待値を１万円と確定してしまうと、 ｐは『2/3』と値が確定してしまう（！） ５，よって、確率ｐは、存在しながらも、期待値計算をすることの出来ない『確率’』のようなものとなる。 ……と考え、驚き、そして悩んだのです
＞ひでぽんさん
コインの場合、裏表が等確率であることがほぼ認められていますから。厳密性が求められる場合はいちいち注釈が入ってるはずです。 （５千円、１万円）の組の確率と（１万円、２万円）の組の確率とが異なれば５０％にはなりません。 例えば （５千、１万）：１本 （１万、２万）：２本 （１万５千、３万）：３本 （２万、４万）：４本 というような１０本のくじを用いて最初の金額を決めると、Aが１万円だったときBが５千円である確率は１／３、Bが２万円である確率は２／３になります。 ＞水心子さん 確率ｐというのはAの金額によって変わります。 そのため、Aの金額によって交換した方が得だったり、そのままの方が良かったりするわけです。 従ってAが１万円のときに期待値が１万円になる必要は全くないのです。
>もし５０％と問題文に追記して考えたとしたら、思考Eについて「対称性は無い。事実αによりAは一万円」が間違いになる。
間違いになる、ではなく正しい、ですかね。 しかし、５０％と問題文に追記する、のは問題の性質上不自然だと思いますが。具体的にどのように追記するんでしょう？ この辺りは>>7の場合に絡んでくるんで、はっきりさせないとなんとも言えません。
50％を追記する件に関しまして
、 『まず、コインを投げ、1/2の確率でＡまたはＢに基準となるお金を入れる。 次に、再びコインを投げ、1/2の確率で、もう一方の封筒に入れる金額を、半値か倍額かを決める』 という形ではどうでしょうか？ 引き下がるつもりでしたが、ご迷惑でなければ、もう少し絡ませてください ようやく、少しずつ見えてきたので……
基準をＡにするかＢにするかの選択は封筒を引くときにどっちでもよくなるので、結局>>19でひでぽんさんがおっしゃってる内容と同じになります。
基準の金額がわかっている場合、その金額を引けばもう一方の封筒の金額は半々ですし、基準でない金額を引けばもう一方は１００％で基準の金額です。 基準の金額の決め方がわからないのであれば、金額の確率も求められません。
＞Isacさん
ケアレスミスですね。・・・が正しい。が正しいですね。修正します。すみません。 ＞水心子さん 最後まで絡んでいただけると私は心強いですし、嬉しいです。よろしくお願いします。 >>46で水心子さんが仰った方法だと、基準となるお金を入れた封筒を引いていたのなら、交換した方が１,２５倍得である。だが逆を引いたのであればもう一方は当然基準となる金額の為「倍か半分『等確率』で入れる」ことがあり得ないから引いた人には期待値計算ができない、と。 結局引いた人には基準となる方を引いたかどうかがわからないので計算できない結論になる・・んですよね？（言い切れない自分が悲しい・・） で、くじ引きについて考えてみました。 お金を入れた人がまず封筒ｘ、ｙに入れる金額のくじを作る。 （ｘ一円、ｙ二円）（ｘ二円、ｙ四円）・・・・ （ｙ一円、ｘ二円）（ｙ二円、ｘ四円）・・・・ と言う紙を箱か何かに一枚づつ入れる。 そして、引く人が封筒を選び（Aとする）その中を見たら一万円入っていたとする。Aがｘかｙかは不明なので（ｘ五千円、ｙ一万円）（ｘ一万円、ｙ二万円）（ｘ二万円、ｙ一万円）（ｘ一万円、ｙ五千円）の四通り。そうするともう一方の封筒Bの期待値は一万二千５百円になる。 が逆は「Aは一万円」が事実なので対称性は無い。 この方法でいくと思考Eが間違いになる訳ですね。 本当に決め方によって結論が変わってきてしまうものですねぇ。
＞ひでぽんさん
ありがとうございます そう言っていただけると、自分の無能さも少しは救われます 『対称性』という言葉について、一つ。 ごくごく常識的なことかも知れませんが まず、ステージ１とステージ２という、二つのパートに分けてみます。 ステージ１は、全くの初期状態を示すものとします。 つまり、まだどちらも選択されず、従って推論が全く立たない状況です。 この時、両者の封筒には差異が無く、 （仮に付けたＡ、Ｂという名前を入れ替えることが可能な状況ですので） まだ『対称性がある』と言えます。 ステージ２は、片方の封筒を選択し、そこを基準として考えている状況を示すものとします。 この時点においては、すでに上記で繰り返し論じられているように、 『対称性は無い』（失われている）と言えます。 ……おそらく、自明のことかとも思われますが、 混乱を少しでも減らすため、参考までに
ということでまとめるのが難しいですが、
最初の問題のケースでは 「お金を入れた人がどのように金額を決定したのかが書いていないため判断不能。それがわかればどこに矛盾があるのかわかるはずである。もしくは正式な期待値が計算できるはずである。」 両方の金額不明なケースなら 「やはり先ほどと同様決め方がわからないと判断しようが無い。わかったとしても金額の上限が無いなら期待値の計算もできないし（敢えて期待値無限と言う事も可能＝Mollyさんの仰ったことと一緒ですね。 ）１／∞の確率というのも０になるのでやはり計算不能であることに注意が必要である。」と言うところでどうでしょうか？（ドキドキ） 良ければロックしたいと思います。 |
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