まずA,Bは何であるか、×,÷は何であるのか定義されていないので・・・説明のしようがないような気もしますが。
例えばA,Bが行列で×が行列の積とした場合、当然÷は意味がなく交換律も成り立たないですね。

普通にA,Bが実数で×,÷を普通の掛け算と割り算とすれば、×は交換律が成り立ち逆数もありますが÷は交換律が成り立たないので「A÷Bを交換法則によりB÷Aにすると」というところが間違ってます。

どういう説明がいいのでしょうかね。

割り算は（割られる数）×（割る数の逆数）と書き直せます。
掛け算では、交換法則が成り立ちますので、（割る数の逆数）×（割られる数）とも書き直せます。

ここで、A÷BとB÷Aを比べますと、
A÷B=A×1/B
B÷A=B×1/A　となります。

A÷B=B÷Aというのはつまり
A×1/B=B×1/A
と言っているのと同じ事で、これは交換法則に則った変形ではありません。