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このクイズの参加者（8人）
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 ソーシャルゲームは大変です
難易度：★★★
 みれい
2018/10/20 01:41
※このソーシャルゲームは架空のものです。
私がやっている大人気ソーシャルゲームで、新たな装備品が実装された。 その名も「ブルジョワ・ソード」。 ゴージャスで上品なその見た目に一目惚れし、実装されたらすぐに作ってやろうと決意していたのだ。 そのためにたくさんのアイテムを用意して待っていたのだが… ブルジョワ・ソードを作成しますか？ 非情にも、作成に必要なアイテムは予想を上回る量だった。 「黄金のたてがみ」と「エメラルド原石」が1個ずつ足りない！ 情報によると、今から「黄金のたてがみ」や「エメラルド原石」を手に入れるためには、 ボス【超超ツヨーイ・ライオン】を討伐する以外の方法が無いという。 しかし、ボスを討伐しても、必ず目当てのアイテムが手に入るわけではない。 ボス1体からは1種類のアイテムしか手に入らない。しかもランダムだ。 公表されている確率によると、【超超ツヨーイ・ライオン】1体から「黄金のたてがみ」が手に入る確率は5%。 「エメラルド原石」は「黄金のたてがみ」よりはマシだが、それでも10%しかない。 そして、残りの85%は、ブルジョワ・ソードの作成には使わない「どうでもいいアイテム」である。 ひたすら【超超ツヨーイ・ライオン】だけを討伐するとして、 「黄金のたてがみ」「エメラルド原石」の両方を手に入れるまでのボス討伐回数の期待値は、何回になるだろうか？
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回答募集は終了しました。
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23.3回(70/3回)
ハズレアイテムを無視して当たりアイテムのみ引き続けた場合を考える。 1/3の確率で1回目にたてがみを引いた場合に、エメラルドが出るのに必要な回数の期待値は+3/2回して5/2回。 2/3の確率で1回目にエメラルドが出たときは、たてがみを出す期待値は+3回して4回。 2つのアイテムが揃うのに必要な期待値は、(1/3)*(5/2[回])+(2/3)*4[回]=(7/2[回]) 1回の当たりアイテムを引くのに必要な試行回数の期待値は20/3[回]となるので、全体で必要な期待値は(7/2)*(20/3)=(70/3)となる。 
最初に予想していたよりは少ない？
みれい
正解！ 式は似ているけど、想定解とは違うアプローチ。
答え：70/3回
「黄金のたてがみ」を1つ手に入れるまでの期待値をXとすると、 1回目で手に入る確率は0.05で、1回目で手に入らないとき、あと何回で手に入るかの期待値はX回。 よって、 X=0.05*1+0.95*(1+X) が成立。これを解くとX=20(回) 同様に、「エメラルド原石」を1つ手に入れるまでの期待値Yは10(回) 「黄金のたてがみ」「エメラルド原石」両方を手に入れるまでの期待値をZとすると、 1回目で黄金のたてがみが手に入ったとき、あと何回で両方が手に入るかの期待値はY回。 1回目でエメラルド原石が手に入ったとき、あと何回で両方が手に入るかの期待値はX回。 1回目で両方手に入らなかったとき、あと何回で両方が手に入るかの期待値はZ回。 よって、 Z=0.05*(1+Y)+0.10*(1+X)+0.85*(1+Z) が成立。X,Yの値を代入してこれをとくと、Z=70/3(回)
こうかな？
みれい
正解！ こういう考え方もあるのですね。
期待値：23.333…回
E(n) = Σ[n, k=1] (k * (k回目に両方が揃う確率)) のn→∞のときの極限を求める。 5%の素材をA、10%の素材をB、残り85%の素材をCとすると、 k回目にして両方が揃うためには ①k-1回目までは、AまたはC or BまたはCだけを引き続ける ②k回目でもう片方の素材を引く ③k-1回目までCだけしか引かない場合はダメ の3点が条件なので、 k回目で両方が揃う確率P(k)は、 P(k) = (k-1回目までA or C, k回目でB)または(k-1回目までB or C, k回目でA) = {(18/20)^(k-1) - (17/20)^(k-1)}*(2/20) + {(19/20)^(k-1) - (17/20)^(k-1)}*(1/20) よって、 E(n) = Σ[n, k=1] (k * P(k)) = Σ[n, k=1] (k * [{(18/20)^(k-1) - (17/20)^(k-1)}*(2/20) + {(19/20)^(k-1) - (17/20)^(k-1)}*(1/20)]) ---(★) ここで、 Sn = Σ[n, k=1] (k * x^(k-1)) の極限値は、0 < x < 1のとき、S = 1/{(1-x)^2} なので、（x * Snとの差を考える; 有名なので導出を省きます） これを(★)式と合わせて、 lim[n→∞](E(n)) = [1/{(2/20)^2} - 1/{(3/20)^2}]*(2/20) + [1/{(1/20)^2} - 1/{(3/20)^2}]*(1/20) = … = 70/3 = 23.333… 以上より、期待値は23.333…回
割と妥当な数字になったと思います
 計算ミスが怖い...  笑
みれい
正解！お疲れ様です。
これを全部手計算でやるとなると、さすがに腰が重い。 それにしても、ここまで全員違うアプローチで来るとは。 【70/3回】
①目当てのアイテム2種は同時には出ないので、どちらか片方を手に入れるまでの期待値を考えます。 確率は15％なので、この期待値は100/15＝20/3回です。 先に手に入ったアイテムによって、以下の②と③に分けます。 ②「黄金のたてがみ」を先に手に入れた場合 確率は1/3、ここから「エメラルド原石」を手に入れるまでの期待値は10回。 → 10/3回 ③「エメラルド原石」を先に手に入れた場合 確率は2/3、ここから「黄金のたてがみ」を手に入れるまでの期待値は20回。 → 40/3回 よって、求める期待値は①＋②＋③で70/3回です。
予想より小さい数字になって不安ですが、このまま回答します。
みれい
正解！
式の立て方は、私が用意していたものと同じでした。ようやく被った。 ７０／３ 回
サイコロで、１の目が出るまで振るとしたら、振る回数の期待値は？ という問題は、無限級数の和を計算する問題になりますが、 その答えは、確率をpとしたとき、1/p回となります。 ここではそれを利用して解きます。 考え方としては、 両方を待つ回数→【どちらかが出る】→残りを待つ回数 これを足し算します。 両方を待っている間の確率（どちらでも良いから出る確率）は、 P+q = 3/20 したがって、この間の回数の期待値は20/3回 黄金のたてがみが出る確率をp (=1/20) エメラルド原石が出る確率をq (=1/10) とすると、常に毎回比率は同じなので、 黄金のたてがみが先に出る確率 1/3 エメラルド原石が先に出る確率 2/3 となります。 黄金のたてがみを待つ回数の期待値は20回 エメラルド原石を待つ回数の期待値は10回 それぞれが起こる確率は、2/3、1/3であるから、 1/(p+q) + (2/3) * (1/p) + (1/3) * (1/q) =20/3 + 40/3 + 10/3 = 70/3
良い頭の体操になりました
みれい
正解！ 私やPrimeさんと同じ観点での解き方でした。
答： 70/3回 (23.33･･･回）
状況Ａ：確率10%の商品のみが欲しい場合の期待値 10回 状況Ｂ：確率５%の商品のみが欲しい場合の期待値 20回 （計算は省きます。） 初期条件の期待値をＸ回とすると、一回の抽選で ５％の確率で状況Ａ（期待値10回+1） 10％の確率で状況Ｂ（期待値20回+1） 85％の確率で状況代わらず（期待値Ｘ回+1） ∴ X-1 ＝ ５％*10＋10％*20＋85%*X 0.15X = 3.5 X = 70/3 私の直感よりずっと２０回（５％単独）に近かったです。 さらに５％・２０％とすると、意外な結果で驚きました。単独＋１回を下回らないような気がしていたもので。
みれいさん、楽しい問題をありがとうございます
 。期待値問題は大好きです。 
みれい
正解！ 楽しんでいただき、ありがとうございます。
この解答は、なるほどさんと同じアプローチ。 
みれい
その数になった理由も教えていただきたい。
みれい
「5分の1」はどこから出てくるのでしょう…
両方ない状態（X）から終了までの期待値をｘ
たてがみがある状態（Y)から終了までの期待値をｙ 原石がある状態（Z)から終了までの期待値をｚとする。 状態Xから1回トライするとそのあとの状態は、 85%の確率でXに、10%の確率でYに、5%の確率でZになる。 つまり、 x = 85/100*(1+x)+10/100*(1+y)+5/100*(1+z) となる。 状態Yから１回トライするとそのあとの状態は、 95%の確率でYに、5%の確率で終了になる。 つまり、 y = 95/100*(1+y)+5/100*1 --> y=100/5=20 状態Zから１回トライするとそのあとの状態は、 90%の確率でZに、10%の確率で終了になる。 つまり、 z = 90/100*(1+z)+10/100*1 --> z=100/10=10 これらを解くと、 x = 70/3 (= 23+1/3) となる。
まだ締め切っていなかったので参加してみました。
コツを知っていると気持ちがいいですね。 と言って、間違っていたらどうしよう・・・ （フォームの使い方合ってますか？）
みれい
正解！
方程式を立てる解き方は、なるほどさん・たっくん４さんと同じ観点でした。
そろそろ新着問題の1ページ目から押し出されてしまいそうなので、正解発表。
補題当たりの確率が常にp (0＜p≦1) であるくじを、当たりが1回出るまで引く時、 くじを引く回数の期待値は、 1/p である。 ・最初に当たりを引いた場合、1回で終わる。 ・最初にハズレを引いても、後の確率には影響を及ぼさないので、1回分の「徒労」が増えるだけ。 したがって、期待値X = p×1 + (1-p)×(X+1) 。 これを変形すると、 X = 1/p 。(証明終わり) 様々な求め方解答者の皆様により、様々な解法が投稿されましたので、大雑把に紹介いたします。 似たような解放は一纏めにしております。ご了承ください。 解答1 (私、 Prime さん、 Yss さん)(【当たり】が1個出るまでの討伐回数の期待値) + [ //残った方が出るまでの討伐回数の期待値 //たてがみ→エメラルド (先にたてがみが出る確率) × (そこからエメラルド入手までの討伐回数の期待値) + //エメラルド→たてがみ (先にエメラルドが出る確率) × (そこからたてがみ入手までの討伐回数の期待値) ] = (20/3) + [(1/3)×10 + (2/3)×20] = 70/3 解答2 (ばやとな さん)(【当たり】を1個出すのに必要な討伐回数の期待値) × [ //揃うまでに出る【当たり】の個数の期待値 //たてがみ→エメラルド (先にたてがみが出る確率) × (1 + そこからエメラルド入手までの【当たり】個数の期待値) + //エメラルド→たてがみ (先にエメラルドが出る確率) × (1 + そこからたてがみ入手までの【当たり】個数の期待値) ] = (20/3) × [(1/3)×(1+1/(2/3)) + (2/3)×(1+1/(1/3))] = 70/3 解答3 (なるほど さん、 たっくん４ さん、 KY さん)X = (1回目にたてがみが出る確率) × (そこからエメラルド入手までの討伐回数の期待値 + 1) + (1回目にエメラルドが出る確率) × (そこからたてがみ入手までの討伐回数の期待値 + 1) + (1回目にどちらも手に入らない確率) × (X + 1) の方程式を解く。計算すると X = 70/3 解答4 (具無しのとんぺい さん)期待値 = ∑(k × ちょうどk回目で両方のアイテムが揃う確率) である。 ちょうどk回目で両方のアイテムが揃う確率 = { //たてがみ→エメラルド [((n-1)回目までエメラルドが出ない確率) - ((n-1)回目まで【ハズレ】しか出ない確率)] × エメラルドが出る確率 + //エメラルド→たてがみ [((n-1)回目まで たてがみが出ない確率) - ((n-1)回目まで【ハズレ】しか出ない確率)] × たてがみが出る確率 } = [(18/20)k-1 - (17/20)k-1]×(2/20) + [(19/20)k-1 - (17/20)k-1]×(1/20) となるので、 X = ∑(k{[(18/20)k-1 - (17/20)k-1]×(2/20) + [(19/20)k-1 - (17/20)k-1]×(1/20)}) ここで、0＜k＜1ならば、Σ kxk-1 = 1/(k-1)2 に収束するので（証明略） X = [1/(2/20)2 - 1/(3/20)2]×(2/20) + [1/(1/20)2 - 1/(3/20)2]×(1/20) = … = 70/3 あとがきこの問題を作るきっかけとなったのは、とあるソーシャルゲームでの出来事。 「キャラクターガチャ」で入手しておきたいキャラクターが2種類ある。 と思ったことがきっかけでした。 期待値の計算は難しくはありませんでしたし、出てきた数字も信憑性のあるものでした。 しかし、実際はうまくいきませんでした。 「確率」ですから、運が悪ければいつまで経っても出ないのです。 ソーシャルゲームは大変です。 |
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