第一印象としては、
「飛んでいる矢は止まっている。」
と、同じような感じがします。

答えになってないか。

数学でいう「切断」は
単に別なものと考えるという意味ですから
「区分」と呼んでもいいかもしれません
「切断」という言葉には物理的破壊のイメージが強いので
混乱するだけですね

この問題は逆に考えてみれば簡単です
くっつければ１つの円錐になるように
２つの立体をつくります
くっつける面は、もちろん同じ大きさで作りますね
何の不思議もありません

お答えありがとうございます

PDJさんのおっしゃることは、なんとなく理解できますが……
申し訳ないですけれど、Mollyさんの意見は、
疑問が残ります。
くっつければ１つの円錐になる２つの立体の断面は、
本当に、『くっつける面』が『同じ大きさ』なのでしょうか？
あるいは、『くっつければ１つの円錐になる』ような『２つの立体』というのは、
本当に存在するのでしょうか？
私の理解力不足のせいかもしれませんが、結局は水掛け論にしかならないような…

平面（2D）と立体（3D）だけでなく、線（1D）と平面（2D）でも同じ問題ですかね？

概念上、点は長さも面積も持ちません。線は長さだけを持ちます。平面は面積を持ちます。

三角形を底辺と平行な線分で三角形と台形の二つに分けます。
分割した線は、同じ長さですね？
でも同じ長さだから長方形ですか？
三角形であるということは、分割した線の長さが違ってるのでしょうか。
でも違ってるのだとすれば斜辺はギザギザに･･･。
という感じ？

これってつまり、「直線は幅を持たない」考えと「平面は直線を横にいくつも並べたもの」考えが混ざってるから矛盾してるんじゃないのでしょうか？
幅0のものをいくつ並べても幅は生まれないので、平面についての考え方を改めるべきなのですかね？
私にもよくは分かりませんが･･･。

円錐に話を戻しますと、
「平面は高さを持たない」と「立体は平面を重ねて作られている」になりますね。

＞風花さん

いつもありがとうございます
おっしゃる通り、私はこのことを、パソコンの『ドット』を通して考えていました。
つまり、どんなにコンピュータが進化していっても、
文字や絵において、完全な『曲線』というのはありえないのだから、
実は我々が書いている『曲線』も、微細に分析していけば、
ギザギザになっているのではないか？　と……

平面や円錐のご説明は、とてもよく納得できます

＞水心子さん
我々の思い浮かべる「曲線」の話について、自分の考えを述べたいと思います。

まず、物理的な話をします。
実は、我々の住む物質世界では、時間と長さに最小単位（これ以上短い長さがないもの）があるらしいんです。
なので、そこまで細かく見れば、全てのものが「ギザギザ」に見えるんじゃないでしょうか？
でもそれを観測することは不可能という落ちが付いちゃいますけれどね

純粋に理論だけの話にすれば、「曲線」は無限に細かくしていっても「ギザギザ」の部分は発見出来ないでしょう。とても狭い視野で見れば「直線」にみえてきますが、直線同士のつなぎ目は何処にあるのか分かりません。

円錐をある箇所で切断した断面について考えているのだから切断するところが変われば考えるべき断面は変わってきます。

上の書き込みを読んでいると切断面が共通にあって切断する箇所をいろいろ変えているという印象を受けました。切断あっての切断面です。

だから、「断面の形状が同一（＝半径、面積、周囲の長さなどがすべて同じ）だとすると」というのはナンセンスだと思います。

説明するのがうまくないので分かりにくい文になっているかもしれません。

数学の世界では、
　点は大きさを持ちません
　線は太さを持ちません
　面は厚みを持ちません
円錐を真円になるように切断した切断面は同じ面積
になってしまいますね。

哲学の考え方には、アトムというこれ以上小さくできないという物があります。
つまり、円錐の切断面の面積は異なるのです。

数学の話しに戻すとするならば、デデキントの切断かなぁ。

みなさま、ご意見いただきありがとうございます

＞クラウさん

いつもありがとうございます
丁寧なご説明、とても納得のできるものです。
ただ、『最小単位』の件となってしまうと、
なんとも、私には腑に落ちない点がある、というのが正直な気持ちです

＞アポなしさん

ありがとうございます
……申し訳ないのですが、理解力不足のため、ちょっと分からない点が多くあります。
私には、そのお答えは、判断しかねます…

＞knifeさん

ありがとうございます
おそらく、おっしゃっていることは、風花さんらのようなことかと、
私は理解しましたが……
もし、誤解でしたら申し訳ありません

knifeさんのデデキントの切断は、ベクトルの範疇ですよね。アレは多少わけが分からないんですよね

極限に近いですが、分割する回数を増やせば元のものに近づくのではないでしょうか。
ところで クラウさんのいう最小単位は超ひもですか？

＞ゆたさん
たしか、超ヒモとは別に、相対性理論とか量子力学と関係あるような話だったかと思われます。
空間の最小単位が10＾-33�pで、これをプランク長さと呼ぶらしいです。
時間の最小単位は10＾-43秒で飛び飛び（？）だとか。
理論上何桁計算しても、小数点以下33桁目以降は四捨五入されちゃうんでしょうかねえ？

デデキントの切断は有理数や無理数の大小を考える概念だと覚えていますが（他の応用は分かりません）、この場合にも応用できるのでしょうか？

難しい、専門的な話が出てきましたので、
この辺りが締め時かもしれませんね…
（専門用語が飛び交うと、間口が極端に狭くなってしまい、
　それは出題者の望むところでは、ありませんので）

物理的なところと，数学の概念上のところを近づけて納得できるような説明を考えるとすれば。
（円錐と断面の円では説明しづらいので，三角形とそれを上下２つに切断する直線で説明します）

三角形をまず三角形と台形の２つに分けます。
これを元に戻します（三角形と台形をくっつける）。
このとき，「台形の上に三角形を乗せる」のではなく，「三角形の底辺と台形の上底を重ねる」というイメージを持ちます。
切断線の長さをaとすると，三角形と台形をくっつけるときに，「aの長さの上にaの長さを置く」ではなく「aの長さの部分を重ねる」という感じ。
すると，長さは同じでも矛盾しないように感じませんか？

実際に紙を切って作ろうとすると，三角形と台形が最初は一枚の紙だったのに，くっつけるときには「重なる部分」ができてしまいおかしく感じられるかもしれませんが，数学の概念上だと，直線には幅がありませんから，重ねてしまっても矛盾しないと思います。


こんな説明で，どうでしょう？
円錐と断面の円だと，切断面を重ねるときに「極薄の円盤」ができてしまうように感じるかもしれないけど，その円盤の薄さは0だから矛盾しない･･･みたいな感じ。
やっぱりわかりにくいか

(1)は厚みを考えない切断なので、
断面積が同じになるのは、ある高さhでの話であって、
高さh1と高さh2での断面積はちがいます。
上から下までという高さの変化があるのに、
それに伴う断面積の変化を無視していると思います。
(2)は厚みを考えて切断しています｡
これは、のこぎりで切断したときを考えると
判りやすいと思います｡
のこぎりでの切断では、
のこぎりの厚み分の大鋸屑がでます。
この大鋸屑は、もともとは、
切断後の上の物体と下の物体の間にありました｡
上の物体の底面と下の物体の上面、
のこぎりの厚み分の高さの物体だったわけです｡
この物体分を考えずに、つなげようとしているので、
矛盾が生じるんだと思います｡

みなさま、とても素晴らしい論を、ありがとうございました

＞いとけんさん
物理的な観点から、素晴らしい意見をありがとうございます。
確かに、実際の切断では『幅ゼロ』は不可能ですからね


この問題は、やはり『数学的分割』と『物理的切断』を混同したことが、
矛盾感を引き起こす原因だったのではないかと思います。

『物理的切断』の場合には、実際に『切断幅』というものが出来てしまいます。
これにより、切断後に出来た二つの断面の間にあった物は、破壊され消滅してしまっています。
ですから、この二つをくっつけたとしても、微細なずれ（ギザギザ）が出来るのは当然であり、
しかしながら元の円錐の側面がギザギザであったことの証明には、全くなりません。

『数学的分割』の場合には、分割された部分の厚みがゼロであるので、断面変化は当然ゼロです。
つまり、分割された二つの断面は、違う立体という形をとってはいますが、
実は同一部分であるということであり、全く同じ断面形状であるわけです。
同じ場所が同じ形であるのは当然であり、このことから円錐の全体像を類推するのは、不可能です。


……という形に、私自身は落ち着けてみましたが、どうでしょうか？

余談ですが……

私の友人は、この問題から
『（数学理論上の）正しい円錐体は、実際には作成できない』
という結論を導き出しましたが……

考えるのは、後々のことにしたいと思います