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お釣りをもらいます
難易度:
水心子
2005/05/12 20:36
ある世界のある国では、とても変わった通貨が使われています。
通貨単位は『メイ』と言いますが、
6メイ硬貨と7メイ硬貨しかありません。
(変わった単位が嫌ならば、別に『円』でも構いません
)
さて、この国において、
絶対にお釣りをもらわないと払えない金額は、
何種類あるでしょうか?
また、その中で最も大きな金額は、いくらでしょうか?
解答は返信中にあるかも。答えがわかったり、誰かに解いて欲しいときは右上の
から教えてね。
回答募集は終了しました。
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No.1
PDJ
2005/05/12 20:56
すみません。ちょっと問題の意味がわからないのですが、1メイ硬貨がないということは、たとえば、1〜5メイは、絶対に払えない というようなことなのでしょうか。
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No.2
水心子
2005/05/12 20:59
はい、そういうことです。
例えば1メイの物を買うためには、7メイ硬貨を払い、6メイ硬貨をお釣りとしてもらう、
という意味です。
…とても面倒な世界ですけれども、
そこは『問題』としての設定ですので、あしからず
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No.3
PDJ
2005/05/12 21:25
確信はないんだけど(違ってた時の言い訳)、
最高29メイで、15種類 でどうでしょう。
うーん、自信ない。
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No.4
水心子
2005/05/12 21:39
>PDJさん
いつもありがとうございます
さすがですね、正解です
それにしても、どの問題も、短時間しかもたないというのは……
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No.5
水心子
2005/05/14 19:47
解答の補足を。
5月のカレンダーを見てください
土曜日の列、『7』の下に並んでいる数字(14,21,28…)は、
7メイ硬貨のみで支払える金額です。
これらは、お釣りをもらう必要はありません。
次に、金曜日の列、『6』は、6メイ硬貨一枚で支払えます。
そしてその下の数字(13,20,27…)は、それに7メイ硬貨を足していけば、
支払うことが出来ますので、お釣りは必要ありません。
その『6』から、斜め左下へたどると、これらはすべて6の倍数ですので、
6メイ硬貨だけで支払うことができます。
すると、各曜日とも、土曜日の方法と同じく、
6の倍数の下は、最初の数に7メイ硬貨を1枚ずつ足していくことにより、
お釣りを必要とせず支払えることになります。
(日曜日『29』の下には、『36』があると思ってください
)
こうして考えていくと、カレンダーの左上側、
三角形に支払えない数字が残ります。
これが、求めるべき答えになります。
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No.6
クラウ
2005/05/15 12:36
>水心子さん
そのカレンダーの考え方はとても分かりやすい説明ですね。感動しました!
この問題の背景にある問題は
「自然数A、Bが互いに素なら、pA+qBはpとqに適当な整数を当てはめれば、どんな整数も表すことが出来る」
という定理です。
これのpとqを「正の整数しかダメ」としたときに、作れない数字を考えるのが、今回のクイズですね。
この問題を解くために水心子さんが考えた「カレンダー作戦(仮)」では、自然数を「Aで割った余り」で分類して並べるところに秘密があります。
まず、「Aで割って☆余る一番小さいBの倍数」を<境界数>と呼びます。
☆には1〜(A−1)の整数が入ります。
これがカレンダーで調べたときに、作れる数と作れない数の境界に来た数で、
「カレンダーの列で一番小さいBの倍数」を表しています。
<境界数>は全て、(A−★)Bの形で表せます。
★には1〜(A−1)の整数が入り、☆の一つ一つとそれぞれ対応します。
そして、<境界数>にBをいくつか加えることで、
「Aで割って☆余る、<境界数>以上の数」を全て表せることがわかります。
そして、<境界数>はAを一つも使っていない数なので、Bをこれ以上減らすことは出来ず、
<境界数>の定義が「カレンダーの列で一番小さいBの倍数」なので、Bを減らすことも出来ません。
よって、
「Aで割って☆余る<境界数>より小さい数」
はpA+qB(p、qは自然数)の形で表せないことが分かりました。
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No.7
水心子
2005/05/17 00:10
……そんな素晴らしい理論があったんですね……
クラウさんの解説に感動しました
このクイズのヒント
ヒント知らないよ
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