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['03/東京大学/理系] 前期日程問題
難易度:
セト
2005/05/10 16:59
2次方程式x^2-4x-1=0の2つの実数解のうち大きいものをα、小さいものをβとする。
n=1,2,3…に対し、Sn=α^n+β^nとおく。
(1)S1,S2,S3を求めよ。またn≧3に対し、SnをSn−1とSn−2で表せ。
(2)β^3以下の最大の整数を求めよ。
(3)α^2003以下の最大の整数の1の位の数を求めよ。
解答は返信中にあるかも。答えがわかったり、誰かに解いて欲しいときは右上の
から教えてね。
回答募集は終了しました。
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No.1
風花
2005/05/12 00:25
条件より、α+β=4,αβ=-1
(1)S1=α+β=4,S2=α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=18,S3=(α+β)(α^2+β^2)-αβ(α+β)=76
S(n)=4S(n-1)+S(n-2)
(2)(3)は保留(^^;
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No.2
セト
2005/05/12 17:44
模範解答
(1)
S1=α+β=4
S2=α^2+β-2=[α+β]^2-2αβ=16+2=18
S3=α^3+β^3=[α+β]^3-3αβ[α+β]=64+12=76
Sn=α^n+β^n=4[α^n-1+β^n-1]+[α^n-2+β^n-2]=4Sn-1+Sn-2
(2)伏せておく。
(3)伏せておく。
HINT
(1)解答済み
(2)-1<β<0なので-1<β^3<0となる。
(3)伏せておく。
(1) Sn=4Sn−1+Sn−2で正解
S1,S2,S3については正解である。
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No.3
ary
2005/06/07 21:08
(2)
β=2-√5
2<√5<3より
-1<β<0なので-1<β^3<0
よってβ^3以下の最大の整数は-1
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No.4
ary
2005/06/07 21:22
(3)
α^2003=S2003-β^2003
-1<β<0なので-1<β^2003<0
よってS2003<α^2003<S2003+1
S1,S2が整数よりS2003も整数である。
よってα^2003以下の最大の整数はS2003である。
Snの下1桁は4,8,6,2の順である。
nを4で割った余りが0のとき2
1のとき4
2のとき8
3のとき6である。
2003は3余るので下1桁は6
このクイズのヒント
ヒント知らないよ
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風花
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ary
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