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16個の点と円

難易度：★★★★ 　

yard 2018/02/28 21:40

正方形に対角線を2本引き、計6本の線分の長さを全て3等分するように点を書きました。
書かれた12個の点と元の正方形の頂点4点、計16点の中から4つの点を無作為に選びます。
(0019095000.gif)

選んだ4点が同一円周上にある確率を求めてください。
円の半径値は有限とします。




	【46/455】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

46/455

なるほど 2018/03/01 13:09

自信なし

yard 全部数え切れています。　正解！

コメントを見て、見落としはどこかな？とニヤニヤ
→囁きを見て、自分の用意した数値とぴったり
→謎の敗北感

▲ △ ▽ ▼ No.2

4点の選び方は 16C4 = 1820通り

円の中心が格子点に重なるもの：
直径√4：4通り
直径√8：4通り
直径√20：4通り

円の中心が、2つの格子点から1/2の距離にあるもの：
直径√5：12通り
直径√13：4通り

円の中心が、4つの格子点から(1/√2)の距離にあるもの：
直径√2：9通り
直径√10：(4×1)+(4×15)+(1×70) = 134通り
直径√18：1通り
直径√26：4通り

176/1820

みれい 2018/03/03 20:37

どこか見落としていそうだが。

yard 大きく分けて2点の見落としがあります。
考え方自体は悪くないですが、この分類法にとらわれ過ぎていると…

▲ △ ▽ ▼ No.3

4点の選び方は 16C4 = 1820通り

円の中心が格子点に重なるもの：
直径√4：4通り
直径√8：4通り
直径√20：4通り

円の中心が、2つの格子点から1/2の距離にあるもの：
直径√5：12通り
直径√13：4通り

円の中心が、4つの格子点から(1/√2)の距離にあるもの：
直径√2：9通り
直径√10：138通り
　a (1×4) 円の中心が正方形の外部
　b (1×4) 円の中心が対角線上
　c (15×4) 6点を通る位置
　d (70×1) 8点を通る位置
直径√18：1通り
直径√26：4通り

その他
直径√(130/9)：4通り　辺の長さが(3, √10, 1, √10)の等脚台形

184/1820

みれい 2018/03/04 06:21

指摘された2点を見つけてきました。

yard 正解です。

▲ △ ▽ ▼ No.4

円の大きさは10通り
全部で184の円が存在する
16個の点から4点選ぶ選び方は 16C4 = 1820通り
よって，答えは 18/1820 ≒ 0.1010989

やまさん 2018/03/18 15:18

R でプログラムを書いて求めた

yard プログラムで解けるものなんですね (○。○)

4行目のごく一部を除いて正解です。

▲ △ ▽ ▼ No.5

やまさん 2018/03/18 22:18

この問題を「10×10 の格子点について」というように拡張すると，プログラムの手助けなしでは解を求めるのは難しいとおもいます。
「4行目のごく一部を除いて」というのは，分数を小数で近似表現したところでしょうか？コンピュータでは，分数で解を求める事も当然できるわけですが，それを小数表現することは，不適切ではないと思います。

yard 3×3から4×4になった時点でだいぶ計算量は増えているわけですから、
10×10となるとプログラムに活躍してもらうのが無難ですね (^^;)

参考：　http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=18753
（プログラムでは方べきの定理とかを使っていたんでしょうか）

小数表記は悪くないとは思いますが、本当にごく一部写し間違いがあります。
左から10文字くらいの所に1文字分。

▲ △ ▽ ▼ No.6

同一円周上にある組み合わせ　184通り
４点を選ぶ組み合わせ　1820通り
求める確率　184/1820=　約10.1%

半径の二乗ごとに分類。（隣接点の距離を２としている）

Ａ：円の中心が、「点の上にあるもの」
4: 4通り（2,0）
8: 4通り（2.2）
20: 4通り（2,4）
　
Ｂ：円の中心が、「４点の中央」
2: 9通り　(1,1)
10:138通り　(1,3)
18: 1通り　(3.3)
26: 4通り　(1.5)

Ｃ：円の中心が、「隣接２点の中央」
5: 12通り　(1,2)
13: 4通り　(2,3)

Ｄ：その他　円の中心が、「１６点の中央から軸に直行して2/3だけ移動」
130/9：　4通り(3,7/3　2点とと 1.3/11　2点)

たっくん４ 2018/03/19 11:31

　まず手で丁寧に数えて、念のためにとプログラミングしてみたら最後のひとつが出てきてびっくり (○。○)