まず、Ａ＾ＢとＡＢの大小を比べると、Ａが２以上のとき、どうやってもＡ＾Ｂ＞ＡＢとなってしまう。
Ｃ＾ＤとＣＤの関係も同様なので、ＡかＣのどちらかは１でなくてはいけない。

まず、Ａ＝１のときを考える。
このときＡ＾Ｂ＝１になるので、
Ｃ＾Ｄ＝ＢＣＤ　すなわち　Ｃ＾（Ｄ−１）＝ＢＤとなる。

ここで、Ｄがいくつかを考える。
Ｄ＝２のときは
Ｃ＝２Ｂとなればよいので、（Ｂ，Ｃ）＝（３、６）（４，８）のときに条件を満たす。

Ｄ＝３のときは、Ｃ＾２＝３Ｂで、Ｂ，Ｃ≦９ではＢ＝Ｃ＝３のみ成立するが、Ｃ≠Ｂより不適
同様に、Ｄ＝４のとき　Ｃ＾３＝４Ｂでの Ｂ＝Ｃ＝２も不適
Ｄが５以上では、ＢＤが四乗数以上の数になるために、Ｂが１桁の数では足りなさ過ぎるので不適。

よって、Ａ，Ｂの値の組とＣ，Ｄの値の組を入れ替えても良いことに注意すると、答えは

（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ）＝（１，３，６，２）（１，４，８，２）（６，２，１，３）（８，２，１，４）
の４組である。

いつもながら、問題の意味が分かりづらいようですね。

右辺の『ＡＢＣＤ』は四桁の数です。
数学的に表すならば、
『Ａ×1,000＋Ｂ×100＋Ｃ×10＋Ｄ』
ということです。
また、左辺は
『（Ａ^Ｂ）×（Ｃ^Ｄ）』
という意味です。

クラウさん、ごめんなさい。

どっちか迷った（というか多分四ケタの数を表すなあとまで思っていた）んですが、
普通の積のほうがやり方が思い浮かんじゃったんでつい書いてしまいました


#これ難しいですね(汗汗
#Ａ，Ｃが１，５は取りえないことくらいまでしか進んでません（´｀)
#地道に調べる以外のいい方法はないかなあ

やっとみつかった、地道に数えて２５９２がそうです！

・・あれ、それぞれ異なる数字ですか?(汗

どうやら、この問題も、出題にミスがあったみたいですね。
しばらくおとなしくしておきましょうか……

もちろん、クラウさんの答えは正解です。

私の脳は働きが悪いようですね、どうやら。