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三角形の不等式
ぼやき餅
このクイズのヒント
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ヒント知らないよ
このクイズの参加者（4人）
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回答募集は終了しました。
ぼやき餅
残念ながら異なります
ぼやき餅
正解です
 それが最大値である証明も添えていただければ完璧です。 
やや難しい問題なので、
本解のヒントを置いておきます  (以下反転) いきなり k の最大値を求めるのは厳しいので、 必要条件から攻めることを考えてみます。 任意の三角形について不等式が成り立つことから、 a＝b＝c (正三角形)のとき、3a2＞＝kS S＝(a2sin60°)/2＝31/2a2/4 なので、 4×31/2＞＝k ヒミツ
こってこての数学を使うことになってしまいましたが、合ってますでしょうか…
もっと簡単な方法があるのか気になるところです。 追記：あああ何て単純なミスを…！『/』を取り除いたものが答えでしたorz 
ぼやき餅
途中の証明は問題無しですが、
最後の k の値が異なります  追記を確認し、正解(別解)に変更いたしました。
第2ヒント
(以下反転) 左辺の辺情報を面積に変換するのは難しいので、 右辺の面積を辺で表すことを考えてみます。 「ヘロンの公式」とかが使えそうですね。 (基本的な公式とは言えませんが、高校数学の教科書に載っているのでご了承下さい。) No.4の証明の序盤について、三辺がdより大きくても細長い三角形をつくれば面積をいくらでも小さくできるので、『dより短い片が存在する』は誤りでした。
ここを修正しようとするとわりと厄介になりそうなので別の方法での証明を用意しましたm(__)m 〜〜〜〜〜〜〜〜 長さaの辺とbの辺に挟まれる角度をθとおくと、余弦定理より (a^2+b^2+c^2)/S =4(a^2+b^2-abcosθ)/(absinθ) =4((a/b)+(b/a)-cosθ)/sinθ ≧4(2-cosθ)/sinθ (総加相乗) ≧4(2sin(θ+π/6)-cosθ)/sinθ =4((cosθ+(√3)sinθ)-cosθ)/sinθ (三角関数の加法定理) =4√3 この等号は a=b かつ θ=π/3 の時、すなわち正三角形の時に成立する。 ゆえに、求めるkは 4√3
上の解法に誤りがありました…
よりシンプルになったのではと思います
ぼやき餅
この解法は本解より大分シンプルですね
 No.4 の解答には誤りがあるということなので、 その囁きは非公開にさせていただきます。 間違いが指摘できず、謝って問題なしと判断してしまいました。 申し訳ございません。 Sを固定し、与式左辺の最小値を探る。
三角形のいち頂点から対辺に下ろした垂線の長さをh,前記対辺の長さを2S/h(=cとする) 底辺の端点から前記垂線の足までの長さ(方向つき、鈍角三角形のとき正となるように)をxとする。 与式左辺を書き下すとxの二次式になり、これをxについて平方完成するとx=c/2のとき最小とわかる。 このとき相加相乗平均の不等式より 与式左辺=(2h^2)+(6S^2/h^2)≧2√(12S^2) である。 上式右辺は定数であり、等号が成立する三角形が存在することから、与式左辺の最小値は(4√3)S。よってkの最大値は4√3。
高校二年か一年の参考書に載ってそうな解き方になりました。
図形的に綺麗な解法お持ちでしょうか？ 《訂正：鈍角→鋭角、です》
ぼやき餅
正解です
 本解は超代数的な解き方です。
解答公開をしました。
(本解) 第１ヒントから、k＞＝4×31/2 逆に、k＞＝4×31/2 のとき、 (与式左辺)2−(与式右辺)2 ＞＝(a2＋b2＋c2)2−(4×31/2S)2 ＝(a2＋b2＋c2)2−48S2 ＝4(a4＋b4＋c4−a2b2−b2c2−c2a2) (ヘロンの公式を用いた) ＝2{(a2−b2)2＋(b2−c2)2＋(c2−a2)2} ＞＝0 等号は a＝b＝c のとき成立する。 与式の両辺は正なので、k＞＝4×31/2 のとき与式が成立する。 k の最大値は 4×31/2 |
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