小学生の算数で･･･？
私の計算間違ってるんだろうか･･･。平方根とかいろいろどっさり出てきてしまったのですが

私の解き方
角Cを15°と60°に分けるような直線を引き，線分ABとの交点をDとおきます（角ACD=15°，角BCD=60°です）。
三角形BCDは90°，60°，30°の直角三角形なので，BC:CD:DB=1:2:√3
三角形ACDはAD=CDの二等辺三角形なので，AD:CD=1:1
ABの長さはAD+DBと書けます。
BC:CD:DB=1:2:√3，AD:CD=1:1より，
BC=1とするとAD=2となり，AD+DB=2+√3
よってBC:AB=1:(2+√3)。
三平方の定理より，CA^2=BC^2+AB^2
BC:AB=1:(2+√3)から，BC=1，AB=2+√3を代入するとCA=(√6)+(√3)
つまり，三角形ABCの各辺の長さの比は，
AB:BC:CA=2+√3:1:(√6)+√3

問への答えは，
上記の比と，問題文の条件で与えられる長さをもとに計算すれば，計算可能（面倒なので割愛）

とても小学生の算数ではありません

えっと、各辺の長さの比は確かに奇妙な値になると思います。
ただ、CAの値がもう少し小さくなるような気がするのですが…
(2+√3)^2+1^2が7+4√3になるので、√(7+4√3)かな？僕も自信はありません^^;

なのですが、面積を求めるならばたぶん算数の範囲で解けます。どれも答はcm^2単位で整数になるはずです。
まぁ、どこまでが「小学生の算数の範囲」かは微妙ですが。

ちなみに、√3は使わなくとも、90°，60°，30°の直角三角形における2:1は必要になると思います。

(2+√3)^2+1^2は8+4√3になるので、√(8+4√3)で，√6+√2ですね。お互いに計算を間違ってるようです

面積については，算数の範囲の方法というのを考えてみます。
まだ考え中･･･。

方眼紙とか、折り紙を手元に置くと、
いいかもしれませんね。

まず使える材料を書いてみます。
・正三角形の一つの角は６０度
・ゆえに３０度の直角三角形は斜辺の１／２の辺を持つ三角形である。

１．
ＡＣの中点（この点をＰとする）から点Ｂに対して線を引く。（ＡＰ＝ＰＣ＝ＰＢ＝６）
点ＰからＡＢと平行に線を引き、ＢＣと交わる点をＱとする。
点ＰからＡＢに垂線をおろし、その足をＲとする。
△ＡＰＲ　△ＰＲＢ　△ＰＢＱ　△ＰＱＣ　は面積が等しい。
△ＰＣＢにおいて点Ｂから線ＰＣに垂線を下ろす。（この点をＳとする）
△ＰＣＳは３０度の直角三角形なのでＢＳ＝３となる。
面積△ＰＣＢは９
よって△ＡＢＣの面積は１８

２．
三角形の斜辺を一辺とする四角形を考える。
（ちと説明がしにくいのですが・・・(;^_^A 　　）
△ＡＢＣのＣを頂点とする線ＢＣに隣接した三角形を描いていく。（これを４つ作れば風車みたいになります。）
内側の四角形と外側の四角形の面積比は１：１になる
これの外側に同じ三角形を描いていけば辺の長さ１２の四角形になる
１２×１２÷３÷４＝１２

３．
２と同様な考えで３６

で、あってますかね？

＞風花さん
あ、1足してなかった
ご指摘ありがとうございます
算数の範囲の方法は、にぽさんの書かれたとおりです。
＞水心子さん
そういえば、折り紙で15度､75度､90度の三角形が作れましたね。
うまくやれば2、3の解法になるような図が作れますね。
＞にぽさん
見事です！
全て正解です。
丁寧な説明、ありがとうございます。
(僕の解法も、だいたいそのような感じでした。)

拙問にお付き合いいただき、ありがとうございました。m(__)m