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 真南に1km歩いて真東に1km歩いて真北に進んだらもとの場所
難易度：★★
 たぬきおやぢ
2016/07/06 00:15
有名クイズから着想を得ての出題です。
http://quiz-tairiku.com/txt/?num=432&title=%E6%81%90%E3%82%8B%E6%81%90%E3%82%8B%E5%95%8F%E9%A1%8C%E3%82%92%E3%81%A0%E3%81%97%E3%81%A6%E3%81%BF%E3%81%BE%E3%81%99 http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=4005 http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=6753 北極点から南に（どこを向いても南なので、適当に）向かって1km歩きます。到着した場所をA地点とします。 その次に、A地点から真東に向かって1km歩きます。ここで重要なのは、緯線に沿って歩くのではなく、A地点から真東に一旦決めた方向にまっすぐ歩きます。大円上を進むとも言うらしいです。到着した場所をB地点とします。 問題1 B地点から真北に向かって歩くと、北極点に到達しました。このとき、B地点から北極点までの距離は何kmでしょうか？整数にならない場合は四捨五入して小数点以下1桁までを答えてください。 問題2 B地点から真東に向かって1km歩きます。A地点からB地点に向かって歩いたのと同様に、まっすぐ歩きます。到着した場所をC地点とします。同様にC地点から真東に向かって1km歩きます。到着した場所をD地点とします。これを繰り返してE地点、F地点、、、I地点に到着しました。I地点に到達した時点で9km歩いたことになります。 さて、I地点から真北に向かって歩くと、北極点に到達しました。このとき、I地点から北極点までの距離は何kmでしょうか？整数にならない場合は四捨五入して小数点以下1桁までを答えてください。 途中に山や谷やホッキョクグマや雪男などの障害物は無いものとして考えてください。 北極圏で正確な方角を求めたり、大円上をまっすぐ歩くのは相当困難と思われますが、超人的な能力で可能なものとして考えてください。 地球上なので球面上の移動ですが、1km程度の移動なので、平面上と考えて良いと思います。 勝手に君は、9.9kmのように、半角数字と半角小文字のkmを続けて書くと反応するようにしています。
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回答募集は終了しました。
問題1正解
問題2正解
問題1正解
問題2正解
問題1正解
問題1正解
問1：1.4km
平面と考えると√2km。球面になおしてもミリメートル以下の誤差。 問2：3.0km A地点は北極点から1km、B地点は北極点から√2km、C地点は北極点から√3km… 
北極の氷が完全に溶けてしまったら、どうしましょう？
たぬきおやぢ
問1,問2とも正解です。
超人的な能力で移動を成し遂げますので、氷が溶けてもきっと平気です。 
たぬきおやぢ
残念。A地点から東にいくときに、緯線に沿って左にカーブしながら歩いていくと、この答えになります。
問題1正解
たぬきおやぢ
答えは違いますが、かかれている数字を見ると、なんとなく正解に近づいているのかもしれません。非公開にしておきます。
たぬきおやぢ
残念。こっちも公開させていただきます。
問題1正解
問題1正解
たぬきおやぢ
うーん。残念ながら違います。
のべ9kmしか歩いていないのに、その距離になるのはちょっと遠すぎる気がしませんか？ 3km
流れで、バッタ回答。
「真東の方向、1km先に見えるスズメを鉄砲で撃ちます。 弾は100mしか飛びません。 しかし、ちゃんと命中しました。なぜでしょう。」 という おっさんクイズに。  （～「大円」というのは、射程と同じですね。） 北極ならアザラシか？
問題2正解
1→√2→・・・・→√9
「問１」のほうは、ここから。
「問２」に向かう訳ですね。 （じつは、紙と鉛筆を使わんと、イメージができんかった、おっさん。 ）アナログ世代むきな問題？ すずめクイズを9回続けるのはかなり無理がある。  ＼  （ふつうに、「1km射程のライフルを9発撃った」 と言えんのが、おっさん。）
たぬきおやぢ
お見事。正解です。
紙と鉛筆はじゃんじゃん使ってください。 (1)
平面と捉えて計算しても良いのなら、∠Aは90度としても良いと思われます。 つまり、北極点を点xと置いた△xABは直角二等辺三角形となるので、各辺の比はxA:AB:Bx=1:1:√2 B地点から北極点までの距離(=辺Bx)は√2≒1.4km (2) (1)と同様にピタゴラスの法則を適用すると、 △xBC 辺xBが√2、辺BCが1なので、辺Cx=√(√2^2+1)=√3 △xCD 辺xCが√3、辺CDが1なので、辺Dx=√(√3^2+1)=√4(=2) ……と、北極点との距離は1つ地点を進むごとに『√(前地点+1)』と波及する 以下同様に、辺Ex=√5、辺Fx=√6、辺Gx=√7、辺Hx=√8となる 問題であるI地点から北極点までの距離(=辺Ix)は、√9=3km
数学は苦手です……名は体を表す、errorだけにエラーがありそうです。
たぬきおやぢ
説明も含めて、ばっちり正解です。
たぶん、「大円」という言葉に引っかかって、地球の「丸さ」が頭をよぎっている人がいると思います。
地球の半径6400kmに対して数kmは、ほとんど無視できる距離だから、 平面上に直角三角形を並べて、三平方の定理で「斜辺」を求めるだけの中学生問題のはず。 （メルカトル図法に慣れてると、北極点の周りの地図が思い浮かびませんが、 「地球儀」になじみのあるお〇さんは、放射状に経線が集まる地図が出てきます。）
案外、ヤングが苦戦する？
このへんに、出題者のワナがあるんでしょうか。 実は、「すずめのなぞなぞ」が、ヒントだったりします。
たぬきおやぢ
ワナをしかけたつもりは無いのですが
オヤジが出した問題には、ヤングは警戒して近寄りにくい？ 紙と鉛筆を使って図を書いてみれば、そんなに苦戦する問題では無いと思いますが、ヤングにはそういうゆったりした時間がなかなか取れないのかも。
たぬきおやぢ
問題1は正解です。メダルは問1の回答に対して進呈します。
問題2は残念ながら違います。途中でどこかで計算ミスをしているのかもしれませんね。北極点を出発してから、方向を変えながら9kmしか移動していないので、答えが9kmより大きくなったら、見直しが必要ですね。
問題2正解
問題1正解
たぬきおやぢ
いらっしゃいませ。
 うーん。残念ながらこちらは不正解です。問題1が正解ですので、紙に書いて同じようにC地点,D地点と地道に考えていけば、正解にたどりつけると思います。
たぬきおやぢ
この答えは>>10と同じですね。
出題者にも解りませんが、勘違いしやすいポイントがあって、そこで同じように勘違いしたら、この答えになるのでしょうね。
残念！緯線に沿って歩くのではありません
たぬきおやぢ
意外と良い作戦かもしれません。
そのうち正解にたどりつくかも。 1km
あ、「かってに君」が増えていた。
 せっかくだから、ドボンも。 （1km先の標的を撃つ、ゴルゴ○○のライフルをイメージできれば、紙と鉛筆で。 ）「最初の1km」を数えてない、とかいう、バッタ負けそうな答え？ ↓
残念！緯線に沿って歩くのではありません
たぬきおやぢ
ありがとうございます。
書いていただけるのは大歓迎です。 勘違いポイント解った気がしています。キーワードは一直線上ですね？
問題1正解
問題2正解
たぬきおやぢ
残念ながらドボンは1種類のみです。
たぬきおやぢ
これはどうやって導出するのでしょうか？
たぬきおやぢ
なるほど。
鉄砲で狙える距離というのは、目標が直接「見える」わけだから、「地球の丸さ」を考える必要なし。「平面」に定規で直角三角形を画くだけ。
４kmぐらいは、水平線の内側。
ついでに、「すずめ・・」がヒントの理由は。
たぬきおやぢ
ヒントが含まれているので、囁きの前半だけ引用します。
> 鉄砲で狙える距離というのは、目標が直接「見える」わけだから、「地球の丸さ」を考える必要なし。
問題1正解
たぬきおやぢ
たしかに9kmより短い
北極点、Ａ地点、Ｉ地点が直角三角形を作ると仮定すれば三辺は「1、9、√82」または「1、√80、9」のどちらかではないか？
で、開示されてる1kmが不正解、かつ9より小さいのは√80しかない。 √80＝4√5≒8.9 理屈もへったくれもないと言うのは本当に直角三角形を作っているのか未検討。 作っているとして「三辺でＡとＩを結んだ９ｋｍが最大になると言うことはそこが斜め部分」になるけど、本当にそうか未検討。
>>37は違ってたけど、へったくれ程度の理屈はあると言えるのかな
たぬきおやぢ
おお、なるほど。8.9kmにもちゃんと理由があったのですね。
たぬきおやぢ
これは、またどこを勘違いしたのか、想像がつかない。
問題2正解
たぬきおやぢ
おっしゃるとおり。非公開に戻しました．
頭の中で北極点を起点にしたり、Ａ地点を起点にしたりしてるうちに（無意識に？）Ａ＝０にしてしまったようです。
そうするとＩ＝８で距離は√８＝２√２≒2.8・・・になってしまいました（泣）
>>40の勘違いは本当にしょーもない勘違いなんで想像つかないのも無理はないです
たぬきおやぢ
なるほど。
いろいろ試行錯誤しながら、正答に到達したのはお見事です。すばらしい。
過去問のrockyさんのスレ。
投稿「日付」が見えないのは、なぜでしたっけ？ ちなみに、過去問で論議されている、「東に向かって進む」は、「東」の定義からいえば、「日の出の方向に向かう」なので、メルカトル図法だと思います。 （逆に「西に向かって・・」自転の速度に合わせて進む時をイメージしたら。）
たぬきおやぢ
過去に発生したなんらかの障害により、該当問題のデータ中の日付の情報が欠落した状態になっています。障害自体は回復しているようですが、一度欠落した日付の情報を復元するのは不可能なので非表示になっています。
過去の議論も読みましたが、「東に向かって進む」という言葉だけでは、緯線上の移動（メルカトル図法で直線）なのか、大円上の移動（出発点を中心とした正距方位図法で直線）なのかは、どちらとも取れるので、決定できないというのが私の立場です。 日常的に「東に向かって進む」と言うときの出発点と移動距離では、両者を区別する必要が無いので、両者の区別をしませんが、極点近くや、移動距離が数千kmの場合は、どちらの意味で言っているかを区別しないと齟齬が発生しうると思います。 「東に向かって進む」という概念が、飛行機やロケットなどの技術が生まれる前、極点が前人未踏の地だったころ、長距離の移動は、伝統的な方位磁石や北極星が見える方向を便りにする航法であった頃から存在することを考えると、暗黙には緯線上の移動と考えるのが自然な場合が多いと思います。なぜ経線が大円で、緯線が大円ではないのかというのは、まさにこの伝統的な航法での南北方向の移動線が経線、東西方向の移動線が緯線となったからだと思います。 出発点では、「日の出の方向に向かう（極点付近では日の出はめったに見られませんが）」、より厳密には、北極点を指す方角から右回り90度の方角に向かうのは、どちらの移動方法でも同じです。昔ながらの航法で移動中の各地点で常に東の方向に進むように微調整しながら進むか、弾道のように一度決めた方向にズドンと進むかで、「東に向かって進む」がどちらがより自然かは異なると思います。
たぬきおやぢ
クイズへの参加と、ドボンも含めた完璧な回答ありがとうざいます。さすがです。
不具合関連の情報ありがとうございます。日付が表示されないものは、情報の欠落なので、回復は不可能だと思われますが、1970/01/01 09:XXのものは、日付のデータの形式がなぜか異なる形式となっているようですが、情報そのものは記録されているので、回復できるかもしれません。
問題1正解
問題2正解
残念！緯線に沿って歩くのではありません
たしか、国語辞典で「南」を調べると、
日の出に向かって右のほう。 「右」を調べると、 日の出に向かって南のほう。 なんていう説明がありました。 東西は、日の出と日の入り。 （聖徳太子が、「日の出る国・・」と言った云々の話は、 単に、方向の問題で、優劣は関係なし。） ・・って、動かしておこう。 問1と問2で答えが同じの可能性はないのかと考えたけど、勝手に君が「問題1正解」「問題2正解」だから問1と2の答えは違う数値のはず。
違う答えを入れないと違うコメントを出力しないはず。
そう言えばこれって私以外にもいるのかな？
たぬきおやぢ
確かにその通り。
問題1正解
問題2正解
北極を中心とした平面として考えると、
問題１は、１ｋｍとそこから直角に曲がって１ｋｍ。 つまり直角二等辺三角形の斜辺を求める計算になる。 三平方の定理から。 問題２は、問題１と同様の操作を９回繰り返すことになる。 北極点をＮと書くことにすると、 1^2+1^2 これがＢＮの長さ（の平方）←ここは問題１ 1^2+1^2+1^2 これがＣＮ（の平方） と、順々に足していって、求めるＩＮの長さの平方は 1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+1^2+1^2=9 というわけで、ＩＮ＝３（ｋｍ） しかし、厳密には極座標を使って考えることになるのでしょうね。 地球の半径Ｒは一定（厳密に球体）と仮定して（実際は違うが）、 毎回の進む距離を表面上の長さの１ｋｍとして、φとθで移動距離を定義。 これを９回繰り返して、最終的な到達点の座標を・・・ で、どうなるのでしょうか・・・
考え方。
解答公開時には、厳密解とどのぐらい違うのか、知りたいものです（と無茶振りしてみた）
たぬきおやぢ
完璧な回答ありがとうございます。
球体を仮定した厳密解は、私も知りたいものです。（と、暗に用意していないことを主張してみた）
北極点を原点O、x軸の正の向きを南、座標の一目盛りを1kmとする。
このとき、A地点は(1,0),B地点は(1,1)(∵東は北極中心の円の接線方向)となる。 また、平面上の全ての点に対してその点から原点へ向かう向きが北である。 問題1 (1,1)と(0,0)との距離を求めればよいので√2(km) 小数点以下1桁まで答えればよいので1.4km 問題2 任意の点P(x,y)を考え、ここから1km真東に進んだ点をQとすると PQベクトルの向きはOPベクトルを反時計回りに90°回転させた向きである。 OPベクトルの成分表示は(x,y)であるからPQベクトルと平行なベクトルの一つに(-y,x)がとれる。 このベクトルの大きさは√(x^2+y^2)であるからQの座標は (x-y/√(x^2+y^2), y+x/√(x^2+y^2)) また、△OPQはPが直角の直角三角形であるから、 OP=√nとするとOQ=√(√n^2+1^2)=√(n+1) これをもとにしてC～I地点と原点との距離を順次求めていくと OC=√3,OD=√4,OE=√5,...,OI=√9 よって答えは3km (球面上でもPからQを表す方法が分かればできるかもしれません。 式がとても複雑になりそうですが・・・)
＞地球上なので球面上の移動ですが、1km程度の移動なので、平面上と考えて良いと思います。
つまり、極座標平面のようなところを歩いていると考えればよいのでしょうか？ すると答えは上のようになります。(計算には直交座標を使いましたが)
たぬきおやぢ
参加ありがとうございます。
お見事。正解です。
たぬきおやぢ
はい。正解です。
正解を発表します。
問題1 北極点をO地点とします。O地点からA地点、A地点からB地点、B地点からO地点はそれぞれ直線での移動ですので、OABは三角形を描きます。 角OABは直角なので、三角形OABは直角三角形です。 線分OAの長さは1km。 線分ABの長さは1km。 三角形OABは直角二等辺三角形です。 三平方の定理より、線分BOの長さは√2kmとなります。 四捨五入して小数点以下1桁までを求めると、答えは1.4kmです。 A地点で南から東に方向転換したときの角度は直角ですが、B地点から北に方向転換したときの角度は左ななめ後ろの45度になるのが不思議な気がしますが、図を描いてみるとすんなりと理解できると思います。 問題2 三角形OBCを考えます。(2回目の方向転換) 角OBCは直角なので、三角形OBCは直角三角形です。 線分OBの長さは√2km。 線分BCの長さは1km。 三平方の定理より、線分BOの長さは√3kmとなります。 同様に三角形OCDを考えます。(3回目の方向転換) 角OCDは直角なので、三角形OCDは直角三角形です。 線分OCの長さは√3km。 線分CDの長さは1km。 三平方の定理より、線分ODの長さは√4kmとなります。 これを繰り返すと、n回目の方向転換の後に到着した地点と北極点の距離は、√(n+1)kmとなります。 I地点は8回目の方向転換の後に到着した地点ですので、I地点と北極点の距離は √(8+1)km = 3kmとなります。
多かった誤回答(>>10>>23>>27>>39)を紹介します。
A地点からB地点へ進んだ後、C地点,D地点,...,I地点への移動は、線分ABの延長線上をそのまま一直線に進んだと考えたようです。つまり、OAIが三角形になります。 三角形OAIを考えます。 角OAIは直角なので、三角形OAIは直角三角形です。 線分OAの長さは1km。 線分AIの長さは8km。 三平方の定理より、線分IOの長さは√65km。四捨五入して小数点以下1桁までを求めると、8.1kmという回答でした。 A地点から真東にまっすぐ進んでB地点に到着したのですが、B地点で改めて真東の方向に向かうすると、さっきから進んでいた方向から方向転換することになるのが、この問題のミソなのです。 この方向転換をB,C,D,...,H地点で離散的に行うのが本問題での移動です。 一方、この方向転換を移動中に連続的に行うと、有名問題で想定した緯線に沿った移動になります。その場合は移動は直線上ではなく、北極点を中心とした円弧上になり、北極点からの距離は常に1kmになります。
53 厳密に？「地球の丸さ」を入れると、
１km間を「直線」で結ぶのは、「大円」に比べて、 「地球の半径」×sin（1/40000）倍 ぐらいの距離になりますかね。 いや、 「地球の半径」×sin（1/80000）×２倍？ レーザーで地面（氷？）を削りながら進む？ （角度を360°にとるかラジアンでとるかはともかく）
先日、ソーラー飛行機で「世界一周成功！
」のニュースがありました。たしかに、飛行距離４万km（北半球をジグザグ）にはなっていますが、 赤道を越えないで「世界一周」というのは、 南半球の人たちに失礼なんじゃ？と思うおっさん。 （まあ、着陸地が確保しづらいからしかたないことではありますが。）
問1の厳密解と問2の解法だけ。
「y軸周りの回転」とは、y軸の負の向きから見て時計回り、 「z軸周りの回転」とは、z軸の負の向きから見て時計回りを正とする。 また、半径1、中心角θ(rad)の扇形の弧の長さは弧度法の定義よりθである。 地球を中心(0,0,0)、半径1の球とし、このとき1kmが2kπに相当するとする。 このとき、地球表面で1km離れたどんな2点P,Qについても 弧度法の定義より∠POQ=2kπが成り立つ。 北極点をP(0,0,1),A(sin2kπ,0,cos2kπ)とする。 このとき、Aから真東に向かって地球を一周した時の軌跡は、 xy平面上の円x^2+y^2=1(赤道)をy軸周りに-(1/2-2k)πだけ回転させたものである。 Aをy軸周りに(1/2-2k)πだけ回転させた点をA', Bをy軸周りに(1/2-2k)πだけ回転させた点をB'とすると、 A'(1,0,0),∠A'OB'=2kπより B'(cos2kπ,sin2kπ,0) BはB'をy軸周りに-(1/2-2k)πだけ回転させた点であるから、 B(cos2kπcos(2k-1/2)π,sin2kπ,-sin(2k-1/2)πcos2kπ) (∵y軸周りの回転行列) 全ての緯度θの点のz座標はsinθなので、 -sin(2k-1/2)π=cos2kπより、 Bの緯度はarcsin(cos^2(2kπ)) よって北極点との距離はπ/2-arcsin(cos^2(2kπ)) 1kmが2kπに相当するので求める距離は (π/2-arcsin(cos^2(2kπ)))/2kπ (実際これはk→0で√2となる) また、地球の半径をrとするとk=1/2πrなので、 距離をrを使って表すとr(π/2-arcsin(cos^2(1/r)))となる。 実際の地球ではk=2.50×10^-5なのでこれを代入すると1.41kmとなり、 殆ど差は出ない。 (実際、kが正確に2.50×10^-5のとき 距離=1. 414 213 564 411 424, √2=1. 414 213 562 373 095) 問2では、任意の地球上の点X(x,y,z)から真東に1km進んだ点Yを求める方法がわかればよいので、以下にその方法だけ示す。 Xをz軸周りに-θだけ回転させた点をX'とすると、これはxz平面上にある。 このとき、θ=arctan(x/y)である。 X'をy軸周りにψだけ回転させた点をX''とすると、これはxy平面上にあり、その座標は(1,0,0)である。 このとき、ψ=arcsin(z)である。 X''から真東に1km進んだ点をY''とすると、その座標は(cos2kπ,sin2kπ,0)である。 Y''をy軸周りに-ψだけ回転させた点をY'とするとき Y'をz軸周りにθだけ回転させた点がYとなる。 
たぬきおやぢ
ありがとうございます。
かなりの部分はついていけないのですが、「Aから真東に向かって地球を一周した時の軌跡は赤道をy軸周りに回転させたもの」というのは、なるほどと思いました。 平面として考えるより、球面での厳密解の方が、わずかながら、距離が大きくなるのですね。 |
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