問1　f(x) = 3x-(1/2)
問2　f(x) = x^2+2x-3
問3　以下のように定義する：
xを、整数nと0以上1未満の実数aとの和 n+a として表現した時、
a＜0.5なら、f(x) = x+0.5； a≧0.5なら、f(x) = x-0.5

問1.f(x)=3x+1/2
問2.f(x)=x^2+2x-3
問3.f(x)=-1/x(x≠0),f(0)=0
問4.f(x)=(x+1)/(-x+1)(x≠1),f(1)=0

問1
f(x)がxのn次式であるとすると、
f(f(x))はxのn^2次式になるので ( ∵(x^n)^n=x^(n^2) )
n^2=1よりn=1、よってf(x)=ax+bとおける。
このときf(f(x))=a(ax+b)+b=a^2x+(ab+b)なので、
a^2=9,ab+b=2が成り立つ。
a^2=9よりa=±3
a=3のとき3b+b=2よりb=1/2 よってf(x)=3x+1/2
a=-3のとき-3b+b=2よりb=-1 よってf(x)=-3x-1

問2
問1と同様に考えてf(x)はxの2次式
よってf(x)=ax^2+bx+cとすると
f(f(x))=a(ax^2+bx+c)^2+b(ax^2+bx+c)+c
4次の項を比較してa^3=1 よってa=1
3次の項を比較して2a^2b=4 よってb=2
1次の項を比較して2abc+b^2=-8 よってc=-3
逆にこの時与式は成立する。

問3
問1と同様に考えるとn=1であるが、
ここではn=-1として考えるとf(x)=±1/xが得られる。

問4は解き方が思いつきませんでしたが、
grapesとmaximaをいじっていたら偶然解を発見したので
その一つを書き込んでおきます。

1:f(x)=-3x+1
3:f(x)=-x
(f(0)=0のみ)

問3.f(x)=(-x-2)/(2x+1) (f(x)=xを満たす実数xは0個)

f(x)=(ax+b)/(cx+d)とすると
f(f(x))= ( (bc+a^2)x + b(a+d) )/( c(a+d)x + (d^2+bc) )
f(f(x))=xより分子が分母のx倍になればよいので
( (bc+a^2)x + b(a+d) ) = x( c(a+d)x + (d^2+bc) )
c(a+d)x^2 + (d^2-a^2)x - b(a+d)=0
よってc(a+d)=0, d^2-a^2=0, b(a+d)=0
ここでa+d=0とすると3式すべてを同時に満たすので
a+d=0を満たす全てのc=d=0以外のa,b,c,dの組は条件を満たす。
この中で、f(x)=xを満たす実数xが存在しない物の一例としては
f(x)=(-x-2)/(2x+1)があげられる。
一般に、f(x)=(ax+b)/(cx-a)としたとき
f(x)=xが実数解をもたない条件はa^2+bc<0である。

2:f(x)=x^2+2x-3<br>3:f(x)=-1/x

2:f(x)=x^2+2x-3
5:f(x)=x(5sin((πln(x^2))/(2ln2))/(4abs(sin((πln(x^2))/(2ln2))))+3/4)

http://www.wolframalpha.com/input/?i=x(5sin((%CF%80ln(x%5E2))%2F(2ln2))%2F(4abs(sin((%CF%80ln(x%5E2))%2F(2ln2))))%2B3%2F4)

1個の式ではこれが限界?

問3ですが、(-x-2)/(2x+1)=0⇔x=-2なので
f(-1/2)=-2とすれば特異点(x=-1/2)でもf(x)が定義されます。
よってf(x)=(-x-2)/(2x+1) (x≠-1/2), -2(x=-1/2)

問5は絶対値を入れるとうまくいきました。
f(x)=|x|(x≦0),-|x|(x>0)
どちらもf(x)かf(f(x))のどちらかの段階で1回だけ符号が反転します。

x=0のときf(0)=0
任意の実数xに対してf(-x)=-f(x)
x>0のときnを0以上の整数として
2n≦x<2n+1のときf(x)=x+1
2n+1≦x<2n+2のときf(x)=-x+1

4コマで図解↓
http://i.imgur.com/Lh36g5m.png

問3をさらに訂正
f(f(-1/2))=2となればよい
(-x-2)/(2x+1)=2⇔x=-4/5より
f(-1/2)=-4/5とすれば
f(f(-1/2))=f(-4/5)=2
よって
f(x)=(-x-2)/(2x+1)(x≠-1/2),f(-1/2)=-4/5

>>9 もうわかりましたよ
f(f(-1/2))=1/2ですね
そうするとf(-1/2)=-5/4です
これだから私は数学のテストで98点しか取れないのです

5:f(x)=
2x (2^(2n)≦x<2^(2n+1))
-x/2 (2^(2n+1)≦x<2^(2n))
-f(-x) (x<0)
nは整数

>>5の3は
f(f(0))の極限が収束するので問題ないと思いますが…?

f(x)=
-x (0≦x)
-1/x (x<0)
とすると、
f(f(x))=
0 (x=0)
1/x (x≠0)
となるのですが…

3:f(x)=
1-x (x=n)
-x (x≠n)
nは整数

1つの式で表すと
f(x)=[cos^2(πx)]-x
[k]は床関数

問3
f(-x)=-f(x) (x≠0)
f(0)=1
x>0のときnを正の整数として
2n≦x<2n+1のときf(x)=x+1
2n+1≦x<2n+2のときf(x)=x-1

f(x)=3x-1/2
-3x+1

f(x)=-x+k (kは実数)

問3:
f(x) = x+1 if x-[x] は奇数
= x-1 if x-[x] は偶数
([]はガウス記号)
は不動点を持たず、2回適用で戻る。
(要するに、実数を同濃度の集合に2分割してやればいい。似た形だと(明示的な)関数を作りやすい。)
(また、条件を満たし不動点を持たないfは連続ではない。f(x)-x≠0と中間値の定理より、f(x)-xは常に正か常に負。どちらにせよ二回適用では戻ってこれない。)

問4:
φ:(0,1]->(1,∞)を
φ(x)=2*1/x if x==2^(-n) (n>=0で整数)
= 1/x otherwise
と定めると、逆関数は
φ^-1(x)=1/(x/2) if x==2^n (n>0で整数)
= 1/x otherwise
A=(0,1],B=(1,∞),C=(-∞,-1],D=(-1,0)とし、
目的の関数は
f(x) = 0 if x==0
= φ(x) if x in A
= -1/φ^-1(x) if x in B
= -1/φ(-1/x) if x in C
= φ^-1(-1/x) if x in D
(A->B->C->D->Aと1つ回る。2回で2つ進み、目的地に到着。)

問5:
A=(0,1],B=(1,∞),C=[-1,0),D=(-∞,-1)とし、(さっきとちょっと違います)
目的の関数は
f(x) = 0 if x==0
= φ(x) if x in A
= -φ^-1(x) if x in B
= -φ(-x) if x in C
= φ^-1(-x) if x in D