1) b = 2a cosθ

2) 角C から 辺ABに垂線を下ろし、交点をDとする。
辺BCの長さ= b
　辺CDの長さ= a sin2θ
辺DBの長さ= b cos θ
三角形BCDは直角三角形であるので
b^2 = (a sin2θ)^2 + (b cos θ)^2
(1)の解をbに代入して
　　sin2θ = 2sinθ cosθ が得られる。

3)辺ABの長さ= a
辺DBの長さ= b cos θ = 2a (cosθ)^2
辺ADの長さ= -a cos 2θ
以上から　cos2θ ＝(1＋cos 2θ)/2

(1)
片側半分を考えることでb/2=acosθ．
整理して，b=2acosθ　…(P)

(2)
(1)の他に正弦定理より
sinθ/a=sin(π-2θ)/b
整理してb=asin(2θ)/sinθ　…(Q)
の関係がある．(Q)式に(P)式を代入して
2acosθ=asin(2θ)/sinθ
よってsin2θ=2asinθcosθ

(3)
(1)の他に余弦定理より
b^2=2a^2-2a^2cos(π-2θ)=(2a^2)(1+cos2θ)　…(R)
の関係もある．(R)式に(P)式を代入して
(4a^2)cos^2θ=(2a^2)(1+cos2θ)
整理すると
cos^2θ=(1+cos2θ)/2

ヒミツ

b=2 a cosθ

(1)b=2acosΘ

asin∠A＝asin(180-2Θ)＝asin2Θ→頂点Bから辺ACに対する垂線
bsin∠C=2acosΘsinΘ→頂点Bから辺ACに対する垂線
よってasin2Θ＝2acosΘsinΘ
両辺をaでわって
sin2Θ＝2sinΘcosΘ

a=acos(180-2Θ)+bcosΘ
a=-acos2Θ+2acos２乗Θ
両辺をaで割って
１＝−cos2Θ+2cos２乗Θ
1+cos2Θ＝２cos２乗Θ
２cos２乗Θ＝1+cos2Θ
両辺を２で割って
cos２乗Θ＝（1+cos2Θ）／２