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～Fermatからの贈り物～

難易度：★★★★ 　

m4a 2016/01/26 21:30

こんにちは。

英検1級受けました。m4aです。
英作抜き 63/85です。受かるかな、、、
今回は、普通の問題を出そうと思います。「「少しクイズ大陸的な要素」」がありますが、、、
まぁ、特にタネも仕掛けもありません。

ヽ( ゜ﾟ)ノ <Here's the direction of Part 1.

　　　　　　　　

　　　　次の3つの条件を全て満たす
　　　　正の実数の組(x,y,z)を考える。

　　　　x^2+xy+y^2 = 16
　　　　y^2+yz+z^2 = 25
　　　　z^2+zx+x^2 = 36

　　　　この時、x+y+z の値を求めよ。

どうでもいいけど大学入ったらドイツ語検定1級やりたいですね。
かってに君は半角で答えの数値を書き込むと反応します (^^)

ただし、ルートを使用する場合はsqrt()の形でお願いします。
例: 答えが (√2+√5)/6 なら、 (sqrt(2)+sqrt(5))/6 で反応します。
ただ、解法も知りたいので、もしよければそちらの方も投稿をよろしくお願いします。 (^_-)

今回は色々と面白い問題に仕上がったと思います！是非解いてくれれば。 (＞o＜)

とりあえず英作20点ください。合格点が82とかなら、、、
Now mark your answer on your answer sheet.
（それでは、解答用紙に答えをマークしてください）




	【√((77+15√21)/2) 説明は >>6】
解答判定ワード	【sqrt((77+15sqrt(21))/2))】or 【sqrt(77+15sqrt(21)/2)】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

x+y+z=AF+BF+CF
ただし、⊿ABC は AB=4 BC=5 CA=6 で、F はその三角形のフェルマー点

ぴろろ 2016/01/31 21:26

とりあえずタイトルからわかったこと

具体的な計算はこれから考える

m4a はい、そういうことです、、、！

最初はノーヒントでしたがさすがにそれは難易度高すぎるかな～と思ってこんな形で出題させていただきました。

▲ △ ▽ ▼ No.2

S=(xy+yz+zx)*sqrt(3)/4
ヘロンの公式より
S=15sqrt(7)/4
整理すると
(xy+yz+zx)=5sqrt(21)

x^2+xy+y^2+y^2+yz+z^2+z^2+zx+x^2+3(xy+yz+zx)=16+25+36+15sqrt(21)
=77+15sqrt(21)

x+y+z=sqrt((77+15sqrt(21)/2))

ぴろろ 2016/02/01 00:48

上の仮定からこうなった
かなり自信がない

m4a 正解!

こんな不安になりそうな汚い解でごめんなさい (^^;)

「そういうこと」から解を導くのは多分これが一番シンプルでしょう(僕はもう一つ導き方用意してあります)
おつかれさまでした。

▲ △ ▽ ▼ No.3

きたちゃ 2016/09/25 10:18

降参です。
答えを公開してください。

▲ △ ▽ ▼ No.4

ヒミツ

綾鷹 2016/12/03 22:55

これ違いますか？？

m4a はい，使う道具はそれです。

▲ △ ▽ ▼ No.5

AB=x,BC=4,CA=y,∠BAC=120°の△ABCと
DE=y,EF=5,FD=z,∠EDF=120°の△DEFと
GH=z,HI=6,IG=x,∠HGI=120°の△GHIを考えて、
頂点A,D,Gで組み合わせてPQ=4,QR=5,RP=6の△PQRを作る。
△PQRにおいて、余弦定理よりcos∠QPR=1/8
よって、sin∠QPR=3√7/8
△PQR=15√7/4

△ABC=1/2xy×sin120°,△DEF=1/2yz×sin120°
△GHI=1/2zx×sin120°より、
△PQR=√3/4(xy+yz+zx)

ゆえに、xy+yz+zx=5√21

ここで、与式を全て足して
2x^2+2y^2+2z^2+xy+yz+zx=77
xy+yz+zx=5√21より、
x^2+y^2+z^2=77/2-5√21/2

ここで、(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx
=77/2-5√21/2+10√21
=77/2+15√21/2

したがって、x+y+z=√(77/2+15√21/2)

綾鷹 2016/12/04 00:25

さっきのは間違いです笑笑
こっちはどうですか？？

m4a 正解です!
こういうことでした，答えの数値が汚くてごめんなさい (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.6

m4a 2017/03/27 12:51

受験の渦から無事生還したので，HAPPY NEW YEAR 2014 (http://quiz-tairiku.com/q.cgi?mode=view&no=18446) に続きこちらも答えを書きますね (^^)

>>0 で触れたとおり，この問題には少しだけクイズ大陸的な要素があります。
それは何かというと……この問題が，図形問題だということです。
だって，ほら，なんというか，ジャンルを見てくださいよ (*^_^*)

正の実数の組(x,y,z) というのも，そういうことです。
ちなみに，実際にはゴリ押しで解けたりします。いやまぁ当たり前なんですが… (^^;)

図形問題だとわかったところで，問題の条件をもう一度眺めます。

x^2+xy+y^2 = 16
y^2+yz+z^2 = 25
z^2+zx+x^2 = 36

正直，これだけではひらめきにくいと思います。3乗の因数分解の式 (a-b)(a^2+ab+b^2) を思い出す人もいるかもしれません。でも今回はそれではなくて……
思いつきやすいように条件を見やすく調理したものがこちらになります。

4^2 = x^2+y^2+xy
5^2 = y^2+z^2+yz
6^2 = z^2+x^2+zx

なにか見えてきませんか？もうひと押しいきます。

4^2 = x^2+y^2-2xy・cos120°
5^2 = y^2+z^2-2yz・cos120°
6^2 = z^2+x^2-2zx・cos120°

……そう！アレです，どこからどう見ても余弦定理です！
ということで，問題文をさらに調理します。式とはいったんおさらばして，図形の問題にしましょう！

⊿ABC は AB=4, BC=5, CA=6 であるような三角形で，
この三角形の内部の点Dは，∠ADB=∠BDC=∠CDB=120° をみたす。
このとき，AD+BD+CD の値を求めよ。

ここまでくれば正弦定理など色々使って式を整理したりして解いてもよい(ぴろろさんの解答 >>2 など)のですが，せっかくここまできたので全て図形で処理してみます。次の事実を使います。

～割と有名な事実～
△PQR は正三角形とする。この三角形の外接円の円弧QR上(※Pを含まない方)に点Sをとると，PS = QS + RS が成り立つ。

証明はトレミーさんに頼むことにして，本題に戻ります。(紙を用意したほうが楽かもしれません)

辺AB について点C とは反対側に，⊿ABE が正三角形となるような点E をとります。
点E・B・D・A は共円です(∵∠AEB+∠ADB=180°)。
ついでに，円周角の定理で ∠ADE=∠ABE=60° です。
ここで，さっき述べた割と有名な事実の構図が使えて，
つまり，ED = AD + BD が成り立ちます。
これを用いて求める値 AD + BD + CD = ED + CD となりますが，
∠ADE=60°と ∠ADC=120° より，E, D, Cは同一直線状に存在するため，
AD + BD + CD = EC がわかります。わーい！
あとはもう余弦定理でごちゃごちゃやるだけです(計算量がけっこうきついですが…)。

ちなみに，有名かもですが，問題の点Dを Fermat点と呼びます。
クイズのタイトルを「Fermatからの贈り物」にした所以です。ここから気づいた人もいるようです((

3点 A, B, C について，AF + BF + CF の値が最小になる点F を Fermat点と呼ぶ。この点は ∠AFB=∠BFC=∠CFA=120° を満たす。

証明もつけようかと思いましたが，名前がつくほどには有名で調べればすぐ出てくるので割愛します()

説明は以上となります。おつかれさまでした～ (^_-)

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