Ｓは正立した３角形の面積の和です。

問題が難しすぎて、意味がよくわかりません…
私なりの解釈を以下に書きますので、
もし間違っていましたら訂正をお願いします。

まず、一辺の大きさがＮcmの正三角形を描きますよね？
これは当然、頂点の一つが上向き（正立）になっているはずです。

次に、３つの辺それぞれの中点を取って、それらを結び正三角形を作る。
この正三角形は、一辺の長さが、最初の正三角形（△ＡＢＣ）の1/2であり、面積は3/4、向きは下向き（倒立）になりますよね？

そうすると、それと同じ大きさの正立の正三角形が、３つできます。
今度はそれに注目し、先ほど行ったのと同じ操作をする（中点を取り、結んで倒立の正三角形を作る）、と。

その作業を、どんどん小さくなっていくまで、Ｘ回行う。

……以上の解釈、間違っていないでしょうか？

大丈夫です。あっています。

＞ゆたさん
お答えありがとうございます。
では、問題に取りかかってみます。

(1)
正立した三角形は、１回の作業ごとに、
倒立した三角形に3/4の面積を切り取られます。
これをＸ回繰り返すのですから、
作業後の面積は、最初の面積の (3/4)^X になります。
ところで、最初の三角形の面積は、一辺がＮですので、
(√3N^2)/4 です。

よって、正立した三角形Ｓの面積は、
Ｓ＝(√3N^2)/4×(3/4)^X
です。

(2)
作業によって新たに作られる三角形は、常に頂点を辺の上に置きます。
三角形の辺は２つの線分で作られており、
また辺は分割されると２つの線分となることから、
作業により奇数点が作られることはありません。
無限回行われても、やはり偶数点しか持たない図形ですので、
一筆書きは可能です。