5つの整数を求めよ→10, 14, 21, 39, 45

　積A：積C＝３：２
　積A：積B＝５：７　
であることが見えるので、
　積A：積B：積C = 1/14：1/10：1/21
最大公約数= 14 *10 *21 *1755

10,14,21,39,45

以下、解法です。
それぞれ素因数分解すると、
A = 2 * 3^4 * 5^2 * 7 * 13
B = 2 * 3^4 * 5 * 7^2 * 13
C = 2^2 * 3^3 * 5^2 * 7 * 13

ABCの最小公倍数をLと置き、これを求めると、

L = 2^2 * 3^4 * 5^2 * 7^2 * 13

すると、以下のことが分かる。
A = L/14
B = L/10
C = L/21

以上から、14,10,21がみっつの数であると分かる。

残りのふたつ（X,Yとおく）は、
A = 10 * 21 * X * Y
B = 14 * 21 * X * Y
C = 14 * 10 * X * Y
となるので、
X * Y = 3^3 * 5 * 13

これを２以上５０以下の整数ふたつにする解は
39,45　である。

（以上）

10，14，21，39，45

答え　10,14,21,39,45

・まずはそれぞれの解を素因数分解（*はレイアウト調整）

積A　368550 積B515970　積C245700
÷2　184275　　257985　　122850
　3　*61425　　*85995　　*40950
　3　*20475　　*28665　　*13650
　3　　6825　　　9555　　　4550
　5　　1365　　　1911　　　*910
　7　　*195　　　*273　　　*130
*13　　　15　　　　21　　　　10
　　　（3x5）　（3ｘ7）　（2ｘ5）

�@　解Ｃｘ二分の三＝解Ａなのが分かる
�A　解Ｂの使用素因数は｛2,3,3,3,3,5,7,7,13｝でこれを4つの整数（2以上50以下）に分けたものが解Ｂの使用整数
�B　分ける際に（2ｘ□）と（3ｘ□）を作り、解Ａを作る際に（2ｘ□）、Ｃを作る際に（3ｘ□）を抜けば�@を満たす
�C　�Aから2,3を抜いて二つ以上残るのは3,7でこのどちらかが�Bの□になる
�D　□＝3とすると、6,9の他に｛3,5,7,7,13｝を使って2以上50以下の整数二つが必要になるが、それは不能。□＝7
�E　14,21を作った残りが｛3,3,3,5,13｝で3ｘ13＝39と3ｘ3ｘ5＝45に分けられる
�F　解Ｂ＝14ｘ21ｘ39ｘ45
�G　解Ｂ使用素因数｛2,3,3,3,3,5,7,7,13｝から2,7を除いたものが｛3,3,3,3,5,7,13｝で解Ａに足りないのは2,5
�H　3,7を除いた｛2,3,3,3,5,7,13｝で解Ｃに足りないのは2,5
�I　2ｘ5＝10→10が解Ｂで未使用の整数

�J　整数は10,14,21,39,45
　　解Ａ＝10*21*39*45　14除外
　　解Ｂ＝14*21*39*45　10除外
　　解Ｃ＝10*14*39*45　21除外

※�Jの検算はしていませんが、論理展開的に大丈夫なはずです。

各々の結果を因数分解し、3つのうち2つを比べると「共通の因数3つ+異なる因数1つ」となる

すべての素因数分解の結果は
(1)2,3,3,3,3,5,5,7,13
(2)2,3,3,3,3,5,7,7,13
(3)2,2,3,3,3,5,5,7,13

(2)と(3)を比べると、異なる因数は(2)3,7→21　(3)2,5→10
共通する因数は2,3,3,3,5,7,13ー�@

(1)には(2)と(3)の異なる因数がどちらも含まれているため、それを除くと3,3,3,5,13が残る
これと�@を比べると因数2,7→14が(1)に含まれていないことが判る

以上の結果をまとめると
(1)3,3,3,5,13,10,21
(2)3,3,3,5,13,14,21
(3)3,3,3,5,13,10,14
となり、共通する因数3,3,3,5,13を2以上50以下の2つの因数に変形できれば正しいこととなる
3,13→39と3,3,5→45の組合わせが合致する


よって5つの因数は10,14,21,39,45となる
Q.E.D.

45,39,21,14,10

10,14,21,39,45

10 14 21 39 45