難易度を☆3から4に変更しました。
近々ヒントも出そうかなーと思っています。

回答ではないのですが…
ヒント要望です。
　

ではヒントを

F(x)＝{(1＋x)−x}/{sin(1＋x)−sin x}
両辺の逆数をとると、
1/F(x)＝{sin(1＋x)−sin x}/{(1＋x)−x}
左辺はともかくとして、右辺の形に見覚えはありませんか?
(もちろん高校数学の範囲で)
ちなみに、0＜x＜1＋x＜1.5＜π/2

ほとんど放置な状態にしてしまったので、
解答公開しました。お待たせして申し訳ございません。
(待っている人がいるのかどうかは不明ですが )

(本解)
F(x)は区間[x,1+x]で連続なので、平均値の定理により、
以下の条件を満たす実数 t が存在する。
[1] sin(1+x)−sin x ＝cos t
[2] 0< t <0.5
[1]の両辺を2乗して逆数をとり、
{F(x)}²＝1/cos²t ＝tan²t ＋1
変形して、{F(x)}²−1＝tan²t
両辺の正の根号をとり、tan t ＝[{F(x)+1}{F(x)−1}]^1/2
後は関数 y＝tan x が区間(0,π/2)で増加関数であることから、
所望の式が得られます。

間違い等あればご指摘下さい。

そろそろロックさせていただきます