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 覆面小町ドキッ！
難易度：★★★
 たっくん４
2015/12/01 22:32
昼間とことん退屈な会議があって、暇つぶしとして自作して自分で解いた問題です。
ＴＨＹ ＋ ＡＲＥ ＝ ＩＤＯＬ（３桁+３桁＝４桁） １０個すべて違う文字（小町算）の覆面算。 つまり、０－９の数値が重複せず一個ずつ入ります。 掲題の式を満たす４ケタの自然数「 問１： 最小値を求めよ。 問２： 最大値を求めよ。 問３： 可能な和が何通りあるかを求めよ。 （「 問１・２・３ 全て かってに君がいます。 問１・２は半角４桁の数字で、問３は何桁か知りませんが半角で。 12/2 19：30 Ｙが二つありました･･･１０個全部違う文字というのが趣旨ですので、それに沿ってでお答えください。取り急ぎＹｏｕをＸに変えておきますが、他に上手いシャレを思いついたら文字組全体を変えるかもしれません。 12/3 22：30 ＴＨＹ ＋ ＡＲＥ ＝ ＩＤＯＬ 「汝はアイドル」に変えました。 もちろん文字は一切本質的な問題ではなくて、10個全部違う数字であるということだけがこの問題を解くためのポイントです。 しらみつぶしでもなんとか解ける問題なのですけど、せっかくですのであっさり解ける解法を紹介したく。12/6朝に考え方のヒントを投入予定 >>34 １４日（月）朝を目処に公開予定です 12/11 22:00
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回答募集は終了しました。
たっくん４
jさん、こんにちは＆ようこそ。
その解はたしかに可能ですが、もう少し小さな数があります 
たっくん４
可能かどうかを語るのは野暮でしょうから、現状では保留しておこう･･･と思ったら、そうですか、かってに君が開かなかった→不可能なのだという偵察ですか
 何回か行えば絶対当たりますが、やめてくださいね  問1：1026
589 + 437 = 1026で覆面算が成立する。 9を法とした剰余を考えると、Y+O+U+A+R+E ≡ I+C+K+Y ≡ 0 (mod 9)でなければいけないので、これが最小である。 
問1のみ。残りをきちんと証明するのは手間がかかりそう。
たっくん４
みれいさん、ようこそいらっしゃいませ。
問1の最小値正解です。解法も、私が「この解が最小」と判断したのと同じ手法です。 おっしゃるように、問1はエレガントに解けますが、あとはその知識を使ってガリガリと削っていく問題です。 
問１：小っちぇーヤツ！
問２：♪大きいわ、大物よ♪
たっくん４
スーパームーンさん、こんにちは。ご指摘ありがとうございます。
単純ミスで、１０個別なアルファベットとご認識ください。 1026 , 1062 , 1206 , 1602
1035 , 1053 , 1305 , 1503 1089 , 1098 の10通り
通りゃんせ、通りゃんせ
たっくん４
errorさん、こんにちは。ご参加ありがとうございます。
問３も正解、全問正解です！ 問1：1026
問2：1602 問3：10通り 3桁＋3桁の和は高々1998にしかならないので、I＝1。 (YOU+ARE)の計算で繰り上がりが発生するごとに、(I+C+K+y)は(Y+O+U+A+R+E)より9だけ小さくなるので I+C+K+yがわかれば繰り上がる回数も分かる。 ■I+C+K+y = 9 (繰り上がり：3回) 場合分けするほどでも無いので個別に。 1026 = 589 + 437 1062 = 589 + 473 1035 = 789 + 246 1053 = 789 + 264 1206 = 859 + 347 1305 = 879 + 426 1503 = 879 + 624 1602 = 859 + 743 ICKy=1260、1350、1530、1620の場合は解がない。 ■I+C+K+y = 18 (繰り上がり：1回) 繰り上がりは100の位でのみ発生するので、0はCにしか入らない。ICKyは1089か1098である。 1089 = 657 + 432 1098 = 673 + 425
問2と問3。思ったより長々しくはなりませんでした。
たっくん４
みれいさん、
全問正解！ 満点です。 「解がない」とされたところに私は少し「なぜないか」という理屈をこねてますが、このくらいの説明の方がすっきりしていていいかも。
たっくん４
jさんへの大きなヒントですが、「単純な覆面算ではない」ことを証明に活かさないと苦しいかと･･･
文字の重複を避けつつ文章を成り立たせる…「THIN（やせこけた）」はどうでしょう？
↓母音がほとんど残っていないので、Iから始まる4文字はとても厳しそうな。
たっくん４
みれいさん、よい案ですね、ありがとうございます
 ただ、今回はすでにお答えの方もおいでですので、ＩＣＫＹ部分は買えずに行こうと思います。 出題入力時点で５分くらいで適当に考えたのが敗因  覆面算って、最初のケタの１＝Ｉと置かれている問題が多いので、先人たちにかっこよく習おうと思ったら失敗しました 
たっくん４
まむさん、ご参加ありがとうございます！ たしかにそれは最小値ですね
たっくん４
それは解のひとつではありますが、もっと小さくできるようです
問1 最小はＩＣＫＹ＝１０２６
①三桁+三桁で四桁なのでＩ＝1で決定 ②ＣＫＹに2が来るには同じ数字（2+0＝2）を使えないと言う特性上、（すぐ下の位からの繰り上がり分も含め）項の合計は12になる＝繰り上がりあり ③Ｃに最小の数字0を入れてみる（Ｘ+Ａ＝10または9かつＯ+Ｒ≧10（O+R＝9に下から繰り上がりだと二個目の0発生） ④Ｋに残りの中で最小の数字2を入れてみる →②より十の位が繰り上がりなのでＣ＝０＝９（5+4or6+3）+繰り上がり →もしＯ（Ｒ）＝9だと、Ｒ（Ｏ）＝3しか2を作れず、Ｘ+Ａは5+4になる →残りはＵＥＹと6,7,8でこれはどう組み合わせても繰り上がるので9+3+1で2が消えてしまう（破綻） →Ｙ＝9だと、Ｘ＋ＡとＵ＋Ｅがともに9なので、6+3と5+4が必要。残りの7,8でＫ＝2が作れず破綻つまり・・・ ⑤9＝Ｕ（Ｅ） →9+Ｅ（Ｕ）はＥ（Ｕ）≠0なので必ず繰り上がる →②よりＯ（Ｒ）+Ｒ（Ｏ）＝11つまり・・・ ⑥ Ｏ（Ｒ）+Ｒ（Ｏ）＝8+3か7+4（6+5はＸ+Ａの候補がなくなり破綻） ⑦ 9+一桁の正の整数は10+その整数-1なのでＥ（Ｕ）-1＝Ｙ →Ｅ（Ｕ）とＹが8・7（⑥破綻）6・5および4・3（④破綻） →5・4の場合、④を満たすＸとＡは6・3、ＯとＲは7,8で②破綻 →7・6の場合、④を満たすＸとＡは5・4、ＯとＲは8・3で②を満たす！ 例） ５８９ ＋４３７ １０２６ 正直、もたついてる感は否めませんが、 １０２Ｙと仮定→９の位置が限定→ＩＣＫＹ＝１０２６に限定の証明になっていると思います。
問1
冗長かつ「単純な覆面算じゃない」ことを活かせてるか不明ながら、どうにか証明出来ているんじゃないかと ♪君は 覆面小町！ 解は ますます わかんない 君は 覆面小町！ 解けず やけになるかも！？ （解答も替え歌もお粗末やんけ  ←お粗末と思いつつもやめられないのがお○さんなのです！（いや、私ぐらいかも  ））
たっくん４
問１正解です！
丁寧に解いていただきありがとうございます。 このやり方でも問２までは解けます。 替え歌、目で見ただけだと伝わりずらいですが、口ずさむときちんと韻を踏んだり１－２字揃えたりしてる･･ 替え歌に感服メダルをどうぞ 
問１：小っちぇーヤツ！
たっくん４
HYFさん、ご参加ありがとうございます。
残念ながらもう少し小さくなります。
たっくん４
あれ？ これは解にならないと思うのですが？
問２：♪大きいわ、大物よ♪
たっくん４
かいとさん、ご参加ありがとうございます
残念ながら、もう少し多いようです。 問１・２はごり押し可能ですが、３はちょっと厳しいかも。
問１：小っちぇーヤツ！
ヒミツ
汝はアイドル…… とってもいいですね ♪なんてったってえアーイドール とか、 ♪なーぎさの覆面こーまちー とか頭に流れております。 ……いえ、御出題ぜんぜん解けていないのですけれども、すみません。。 （覆面算は超苦手意識がありまして遅々として進まず。）
たっくん４
s_hskz さん、ご参加ありがとうございます。
これ、そもそもは ＹＯＵ＋ＡＲＥ＝ＩＤＯＬ ＠小泉今日子 にしたかったんで、「ＴＨＹ」を思いついたときはガッツポーズしてしまいました。 この英単語、覆面算とスクラブル（単語ゲーム）でしか見たことが無いのですけど 囁きの件了解、まずは自分で考えて見ます。 まず「3桁+3桁=4桁」から、I=1かつD≠8,9
次に覆面算のルールから、T≠0かつA≠0 全て別の数字という条件からY≠0(E=Lとなってしまうため)、同様にE≠0 Hが0であると仮定すると、残る数字の配置は ①T+AとY+Eが共に12以上 ②R+1=O この2つの条件を満たす必要がある。 『総当たり1回目！』 この2つの条件を満たす組合わせは存在しない。 よってH≠0、同様にR≠0 Lが0であると仮定すると、 ③Y+E=10 となる。このときの9の位置を考える。 繰り上がりがあるため、H≠9かつR≠9となる。 1)O=9である場合、H+R=8 2)T=9(同様にA=9)である場合、H+Rは繰り上がってはならないため、H+R≦8 1)と2)より、④H+R≦8という条件が成り立つ。 『総当たり2回目！』 ③④を満たす組合わせは存在しない。よってL≠0
着目すべきは無……私の勘がそう告げていた。
なんてったってアイドル！
Oが0であると仮定する。
⑤H+R=10、またはH+R=9 このときの9の位置を考える。 繰り上がりがあるため、T≠9(同様にA≠9)。 また、1か0を使わないと⑤の条件を満たせないため、H≠0(同様にR≠0)。 1)L=9である場合、繰り上がりが起きないため ⑤'H+R=10、⑥Y+E=9となる。 『総当たり3回目！』 ⑤'⑥を満たす組合わせは存在しない。よってL≠9 2)E=9である場合、繰り上がりが起きるため、 ⑤"H+R=9、⑦Y-1=Lとなる。 『総当たり4回目！』 ⑤"⑦を満たす組合わせは存在……する！ 347+859=1206 743+859=1602 426+879=1305 624+879=1503 の4パターンが解となる。 (なお、T⇔A、H⇔R、Y⇔Eは相互に互換が成り立つ。)
そして私は走り回った。
なんてったってアイドル！
Dが0であると仮定する。
⑧T+A=10、またはT+A=9 またもやこのときの9の位置を考えても良いだろうか？ 1)H=9である場合、以下の条件が成り立つ。 ⑧'T+A=9(Oが繰り上がるため) ⑨R-1=O ⑩Y+E≦8(Lが繰り上がってはならないため) 『総当たり5回目！』 この3つの条件を満たす組合わせは存在しない。よってH≠9(同様にR≠9)。 2)E=9である場合、以下の条件が成り立つ。 ⑪Y-1=L 『総当たり6回目！』 ⑧⑪を満たす組合わせはありまァす！ 437+589=1026 473+589=1062 246+789=1035 264+789=1053 この4パターンが解となる。 (前略相互に互換が成り立つ。) 3)O=9である場合、以下の条件が成り立つ。 ⑧"T+A=10(Oが繰り上がらないため) この時、更に以下の2パターンに場合分けされる ⑫'Y+Eが繰り上がる場合、H+R=8 ⑫"Y+Eが繰り上がらない場合、H+R=9 『総当たり7回目！』 ⑧"⑫'を満たす組合わせは存在しない。 ⑧"⑫"を満たす組合わせは存在したんだよ！(な、何だってー！) 342+756=1098 423+675=1098 の2パターン。但し、パターンは違うが解は共通となる。 4)L=9である場合、以下の条件が成り立つ。 ⑬Y+E=9(自明) 更にH+Rが繰り上がるか否かで⑧'と⑧"に場合分けされる。 『総当たりも8回すると疲れる』 ⑧'⑬を満たす組合わせは、実在シマセーン。 ⑧"⑬を満たす組合わせは、あるんだよ。 324+765=1089 432+657=1089 の2パターン。但し以下略。 すべての0の位置を検証したため、他に解は存在しない。 よって、この問題の解は 347+859=1206 743+859=1602 426+879=1305 624+879=1503 437+589=1026 473+589=1062 246+789=1035 264+789=1053 324+765=1089 432+657=1089 342+756=1098 423+675=1098 の12パターン10通りとなる Q.E.D.
迷い続けたが、ついにゴールへとたどり着いた……のか？
と、少しカッコつけてみたり
たっくん４
error さん、問３の丁寧な証明をありがとうございます。
０に着目ってのは面白いですね。ワタシの証明はもっとずっといい加減なのですけど
なんてったってアイドル！
問１：小っちぇーヤツ！
問２：♪大きいわ、大物よ♪
問２：♪大きいわ、大物よ♪
・IDOL=1350、1530の場合
T+A、H+R、Y+Eはすべて偶数であり、いずれも高々14である。 残った奇数である7と9は同じ位で使わなければならないが、7+9=16なのでどの位にも入らず、成立しない。 ・IDOL=1260、1620の場合 1の位は3+7になるが、残った4つの数字を11と15に分けることができないので、成立しない。
>>8で「解がない」と書いた候補について、きちんと考えてみました。
たっくん４
問３の説明、正解です。私の説明はもっと短いです
たっくん４
ここのかさん、残念ながら正解ではありません
問2 最大はＩＤＯＬ＝１６０２
「証明・・・と言うよりほぼしらみつぶし^^;」 ①例によってＩ＝1は確定 ②Ｙ（Ｅ）＝0はＬ＝0+Ｅ（Ｙ）になりＬとＹ（Ｅ）がダブって破綻 ③Ｄ＝9や8は（下からの繰り上がり込みで）Ｔ＋Ａが19,18必要でこれは9+9（+1）か9+8+1が必要でダブりが出来て破綻 ④Ｄ＝7はＴ＋Ａ（+繰り上がり）＝8+8+1と9+7+1がＮＧなので9+8（繰り上がりなし）に決定 ⑤Ｏ≠0 →十の桁の繰り上がりがなしなので（ＤＯＬどこに0が入る場合も合計は10ちょうど＝繰り上がり必須） ⑥Ｌ＝0だとすると、残りの2～6で10を作れるのは6+4のみ。ＨＲＯと3,4,5が残りますがどう組み合わせても破綻 ⑦Ｈ（Ｒ）＝0だとすると②と同じことを避けるためにはＹ+Ｅの繰り上がりが必須。 →4+6か5+6しかないが、二個目の0や1が発生して破綻 →0の置き場所がなくＤ≠7！ ※正直、直感で9+8＝17のジャストフィット感から17ＯＬ行ける！と思ってたんで意外でした！ ⑧Ｄ＝6だとすると、Ｔ・Ａ＝9・7か8・7（+下から繰り上がり）※他の16は6や8がダブる →9・7の場合、十の位に繰り上がりなしで残る数字0,2,3,4,5,8で②よりＹ（Ｅ）≠0、⑤よりＯ≠0、Ｌ＝0は8+2で作るしかなく⑥によりＬ≠0、Ｈ（Ｒ）＝0だとすると⑦（の→以降が8+2に変わるだけ）により破綻 →0の置き場所がなくＴ・Ａ≠9・7 →Ｔ・Ａ＝8・7の場合、十の位に繰り上がりが必要。9+0以外（0+1は0ダブりで破綻）を使うか5+4+1 →9を使うパターンの場合・・・前述の理由によりＲ（Ｈ）≠0、9の相方に使えるのは2,3,4,5なのでＯ≠0、②よりＹ（Ｅ）≠0、2,3,4,5はどの二つを足しても10に満たないのでＬ≠0・・・0の置き場所がなく破綻 →5+4+1の場合、Ｏ＝0確定。Ｙ+Ｅに繰り上がりが必要なのでどっちか9が確定 →残りはＥ（Ｙ）Ｌと2,3→9+3＝12を作れば条件が満たせる！ 例） ８５９ ＋７４３ １６０２ どうでしょうか？ 問3は五里霧中です・・・ダブりなしの特性？0や9の不自由さ？縦に三連番の収まりの悪さ？特性、偶数奇数？繰り上がりが何箇所か？ この辺のパーツを使って粗い枝きりのあとのパワープレーか！？
問2・・・かなり疑心暗鬼
 ちなみに、なんてったってアイドルは○学生のときに「なんてったって○毒」って歌って担任教師に怒られた思い出が・・・ ♪なんてったって○毒 私は○毒 （Plum poison） ○毒は～ 治らないー 痛ぇー（いてぇー！）痛ぇー（いてぇー！） 医者（行けぇー！） みたいな感じで歌ってたトンデモ○学生だった思い出が・・・
たっくん４
問２ 正解です。 丁寧なしらみつぶし証明をありがとうございます。
○毒ですかぁ･･･ 私自身は全然経験がないのですけど そういう男の子バカチン話でいくと、音楽記号の「フェルマータ」が試験に出たとき「スピロヘータ」と書くやつがいたことは知っています。
しらみつぶしでも十分に解ける問題なのですけど、せっかくですのであっさり解ける方法をご紹介したく。12/6朝にヒントを投入予定です
ＴＨＹ
＋ＡＲＥ ＩＤＯＬ ☆1 ＴとＡ、ＨとＲ、ＹとＥは置き換え可能 ☆2 下の位からの繰り上がりは（+1）と表す ☆3 アルファベットが二つ以上続けて書いてあるのは「そのうちのどれか」の意味 ☆4 三桁+三桁＝四桁なのでＩ＝1で確定 ☆5 上の位への繰り上がりが必要な場合 Ｄ≠9（合計19が必要で9+9（+1）しか不能で9が重複） ☆6 9をＴＨＹに入れた場合、すぐ下の位の繰り上がりNG（9+?（+1）＝10+?で?が重複） 「0について」 ① Ｔ≠0 覆面算のお約束 ② Ｙ≠0 0＋Ｅ＝Ｅ＝ＬでＥの数字が重複 ③ Ｈ＝0だとすると、Ｏ＝Ｒ（+1）になる（でないとＲが重複） a Ｒ≠9 Ｒ＝9だとＲ＋１が10になり0が重複、Ｒ≠9によりＯ＜10確定でＨ+Ｒは繰り上がらない b ＲとＯは連番なので偶数（奇数）と奇数（偶数）＝Ｔ・Ａ・Ｄ・Ｙ・Ｅ・Ｌの6つは偶数3、奇数3 c ＹとＥがともに偶数ならＬも偶数、Ｔ・Ａ・Ｄがすべて奇数、奇数+奇数＝偶数でaより（+1）が否定されているので破綻 d ＹとＥがともに奇数ならＬは偶数、片方が偶数でもう片方が奇数ならＬは奇数 e いずれにせよ偶数1奇数2使用で、Ｔ・Ａ・Ｄは偶数2奇数1。偶数+偶数＝偶数、偶数+奇数＝奇数で（+1）なしなので破綻 ④ Ｈ≠0 ※①②④により0は和の側（ＤＯＬ）にある
粗い枝切りからのしらみつぶしを狙うも眠気に負けてここまで・・・無念
たっくん４
この結論、もちろん正解です。
ワタシの解もｊさんが入れた☆１－６みたいな条件を「材料１－６」として使ってます。 ヒントを使っていただけると必要なステップがだいぶ減ると思いますので、よろしければご活用ください。
ヒント
小町算は、「同じ数が二回使われないこと」 が細部を考える際には重要なのですが、「使われている数が全部わかる」ことを使って初期段階で解の可能性がぐぐっと絞れることがあります。 特にこの問題のように式が足し算ひとつの場合なんて･･･ （以下に白い字で） １０個の数値の和が４５であることを使えば、 ・ 「ＩＤＯＬ」の特性がひとつ明らかになります ・ 繰り上がりが全体で何回あるか、についても（概ね）判明します
たっくん４
問１：正解です！
ぴろろさん、ご参加ありがとうございます。 よろしければ問２以降にもおつきあいください！ そうか、スピロヘータ ネタがここではウケるのか ←絶対違う
「ＴＨＹ+ＡＲＥ＝ＩＤＯＬの計算手順」
手順a Ｙ+Ｅ＝Ｌ 繰り上がり（Ｌ≧10）の場合は-10されて②でＨ＋Ｒに+1される 手順b Ｈ＋Ｒ＝Ｏ 繰り上がり（Ｏ≧10）の場合は-10されて③でＴ＋Ａに+1される 手順ｃ Ｔ＋Ａ＝Ｄ 四桁目Ｉが存在するので必ず繰り上がり。-10されてＩ＝1になる ④ abcどの手順でも繰り上がりが発生すると和の側のＤＯＬから-10され、項ＴＨＹＡＲＥの側に+1される ⑤ 繰り上がりの発生回数（1～3）をＫ、Ｄ+Ｏ+ＬをＤ～Ｌ、項側の六つを足したものをＴ～Ｅとすると・・・ ⑥10Ｋ+1（＝Ｉ）+Ｄ～Ｌ＝Ｔ～Ｅ+Ｋ ⑦使う数字は0～9一つずつで計45、Ｉ＝1でこれを除いた合計が44。 つまりＴ～Ｅ＝44-Ｄ～Ｌで、これを⑥に代入すると・・・ →10Ｋ+1+Ｄ～Ｌ＝44-Ｄ～Ｌ+Ｋ・・・各辺移項して →10Ｋ-Ｋ+Ｄ～Ｌ+Ｄ～Ｌ＝44-1・・・整理すると ⑧9Ｋ+2（Ｄ～Ｌ）＝43 ⑨「0は和の側（ＤＯＬ）にある」※ >>33で出した結論・・・も投入します（笑） ⑩Ｋ＝1の場合、2（Ｄ～Ｌ）＝43-9＝34・・・つまりＤ～Ｌ＝17 →⑨を加味すると条件を満たせるのはＤ・Ｏ・Ｌ＝0・8・9のみ →さらにＫ＝1と言う事は繰り上がりはＴ＋Ａのみで、Ｄ＝0（0は合計10でしか作れないので繰り上がり必須） ※結論α Ｋ＝1なら、ＩＤＯＬ＝1089または1098のみ小町算成立の可能性あり ⑪Ｋ＝2の場合、2（Ｄ～Ｌ）＝43-18＝25・・・つまりＤ～Ｌ＝12.5→整数三つでは作成不能！ ⑫Ｋ＝3の場合、2（Ｄ～Ｌ）＝43-27＝16・・・つまりＤ～Ｌ＝8 →⑨を加味すると満たせるのはＤ・Ｏ・Ｌ＝0・2・6または0・3・5のみ ※結論β Ｋ＝3ならＤＯＬ＝0・2・6の順列または0・3・6の順列のみ小町算成立の可能性あり 結論αとβを合わせた 「Ｋ＝1ならＩＤＯＬ＝1089、1097」 「Ｋ＝3ならＤＯＬ＝｛0、2、6｝の順列または｛0、3、6｝の順列
>>34の反転なしでの現時点の進行（この先はしらみつぶしになりそう
）うーむ・・・頭では分かってるつもりですが、証明（説明）になっているのだろうか？ しかしこれが成立してるとしても、この着眼点をノーヒントは絶対に無理だったでしょう。 算数（数学）怖い・・・
たっくん４
ここまでの証明、大正解です。
実際ここまで来ていれば、問３まですぐ解けてしまいます。お疲れ様でした。 ひとつ意地悪指摘すると、最終行とその前の行の、一番大事な結論部分にケアレス転記ミスが２箇所ありますが、そこは敢えて点を引きません この結論、Ｉを取り除いたから証明が却って難しくなっていて、その一段階前でゆったり考えると、もっと易しく証明できると思うのですけれど 
たっくん４
了解しました。偶然にヒットしてしまったわけですね
ヒミツ
>>37の最後のケアレスミス失礼しました。試験でこれやったら泣くに泣けませんね
そして「この結論、Ｉを取り除いたから証明が却って難しくなっていて（後略）」 ・・・無意識とは言え、我ながらずいぶんひねくれたやり方してましたね。 なるほど、Ｉを取り除かないほうがかなりスムーズと言うか自然ですね
なんてったってアイドル！
① ＴＨＹ ＋ ＡＲＥ ＝ ＩＤＯＬ につきまして、 100t+10h+y + 100a+10r+e = 1000i+100d+10o+l とします。 このときに以下の②、③が成り立つのですが、 ②t+y+a+e+o=27 ③h+r+d+l=17 ①の右辺が9の倍数であることを踏まえても、①の解については絞り切れず…… 回答発表が楽しみです。 力業では問３は９だと思うのですが見落としが不安です。まだチャレンジ中です。
いきあたりばったりの言い訳兼進捗です。
たっくん４
ふむう、s_hskzさんはこのアプローチが好きなんですねぇ
②も③もぜんぜん私が認識してなかった法則です。全解と照らし合わせて･･･おお、たしかに成り立ってますね。これ、各桁の繰り上がりルールと照らし合わせると当然ではあるのだな、とひとりごと。 「出てくる文字の数が少ない」覆面算はそのアプローチでまず攻めるのですけど、文字が１０個もある小町算の場合はだいぶ情報量を失っている気がします。 問3 10
>>39よりＩ～Ｌ＝9か18。かつＩ＝1 それを満たすＤＯＬは下記三パターン Ｋ1（繰り上がり1回）｛0,8,9｝ Ｋ3（繰り上がり3回）｛0,2,6｝｛0,3,5｝ ☆1 和の0は合計10でしか作れず繰り上がり必須 ☆2 項に9がある場合、下からの繰り上がりありだと破綻（9+□+1＝10+□） ①Ｋ1の場合 一箇所の繰り上がりはＴ＋Ａで確定なので☆1よりＤ＝0、和は1089か1098 例）765+324＝1089、756+342＝1098 ②Ｋ3の場合 すべての位が繰り上がるので☆2よりＹ（Ｅ）＝9が確定、1＝Ｉで確定なのでＬ≠0、和はＩ＝1、ＤＯＬ｛0,2,6｝または｛0,3,5｝の順列から最後が0なのを取り除いたもの 例） 1026＝589+437 1062＝589+473 1206＝859+347 1602＝859+743 1035＝789+246 1053＝789+264 1305＝879+426 1503＝879+624 「結論」 1089 1098 1026 1062 1206 1602 1035 1053 1305 1503 の10通りのみこの小町算を満たせる！ 「結論その2」 これだけだとは・・・やはりいつの時代も美人は少ない！
たっくん４
問３正解です！
今回の証明はスッキリですね。 ☆１☆２の使い方も、私の意図通りです。 お付き合いいただきありがとうございました！
たっくん４
Yss さんには厳しくバツをつけてやれ
たっくん４
近寄ってきますね
問１：小っちぇーヤツ！
I my me
you your you thou thy thee ←thyは所有格なので主語にはなれない
だったりするんですが。（スミマセン）
たっくん４
あ、そうなんですか？
なにせ学校で習ったことも自分で使ったこともない単語なもので そうか、love thy neighbour, love thy enemy ･･･当然所有格なんですね。 ここは素直に感服！
問２：♪大きいわ、大物よ♪
【１】IDOLは９の倍数
０から９までを全部足すと４５で、９の倍数。 各文字を、０から９の数値として、 T+H+Y = n (mod 9) A+R+E = m (mod 9) I+D+O+L = o (mod 9) とすると、 n+m = o (mod 9) となる。 n+m = o = 0 (mod 9)の場合に式が成立することは自明であるが、 ここで、それ以外の解があるかどうか考える。 n+m+o = 0 (mod 9) であることは自明。 したがって、 n+m = 1 (mod 9) のとき o=8 (mod9)でなければならない。 以下同様に、n+m,oの順に数字だけ列挙すると、 2,7 3,6 4,5 5,4 6,3 7,2 8,1 となり、n+m = o(mod 9)を満たす組は、 0,0以外にないことが分かる。 従って、IDOLは必ず９の倍数。 【２】繰り上がりの個数は１または３回 また、繰り上がりの個数により、絶対に成立しない場合が排除できる。 繰り上がりの個数は、１または３である。 １の例：324+765=1089 ３の例：437+589=1026 今度は、 T+H+Y = n (mod 2) A+R+E = m (mod 2) I+D+O+L = o (mod 2) と、置く。 n+m+c = o (mod 2)である。 ここでcは繰り上がりの個数を表す。 ０から９までの和は４５＝1 (mod 2) であるから、 n+m+o=1 (mod 2)である。 また、任意の整数について -x = x (mod 2)であるから、 （偶数か奇数かを考慮する上では、マイナス符号をつけても変わらない） n+m+o+c = 0 (mod 2) n+m+o = 1 (mod 2) 辺々引き算して、 c = 1 (mod 2) 繰り上がりの個数は、奇数個でなければならない。 【３】９の位置 さらに、繰り上がりの個数が、３個のときは、 数字の９の位置がかなり制約される。 まず、右辺に９を入れることは不可能。 （なぜなら、ふたつの一桁の数(AとBとする）同士を足して、 繰り上がって、かつ一の位が９になり、AもBも９ではない、 ということは不可能だから） 従って、９は繰り上がりが３回の場合、必ず左辺に入る。 THYとAREは互いに交換可能なので、THYの方だけ考えると、 Tの位置に９が入ることは不可能。なぜなら、 Tの位置に９があり、かつ繰り上がりが３個あると、必ずT=Dとなるため不可。 また、Hの位置に９が入ることも不可能。 なぜなら、繰り上がりがあると、H+R+1=10+Rとなり、同じ数字が２度でてしまう。 したがって、繰り上がり３回のパターンでは、必ずY=9となる（E=9でもよい） また、この制約から、０の位置もかなり限定される。 Y=9, I=1であるから、L=0にはなりえない。 D=0またはO=0のいずれかである。 （疲れたのでここまで） あとは、このあたりを考慮しつつ、うまく数え上げができれば・・・ と思っているんですが・・・ あと繰り上がり１回のパターンも足し上げないといけないですね。
ここまではいいと思うんですが・・・ちょっと複雑ですねまだ・・・
たっくん４
ここまで、目の付け所、その順番、、説明ともに完璧ですね
私が後日公開する解は 【１】【２】【３】は結論だけ（証明しなくても明らか）という勢いで進めてます。
問３：コマッチゃうー。
96
No.50で囁いた個数が合わない……ということは、No.24でお尋ねした数えかたについて、私の解釈が間違っているのかも。 では、問3について別な数えかたで、かってに君にお伺いをしてみます。
たっくん４
こっちも正解です！ 全部の組み合わせはこれだけあります。
なんと！？
問３があわない…… 顔を洗って出直してきます。 12/13 13:30 追記 ↓↓ たっくん４さん、了解いたしました、ひとまずほっとしております。(≧∇≦)
たっくん４
すみません、s_hskzさんは大正解です。
設定をミスった私が顔を洗うか足を洗うかすべきところ 
７６５
３２４ １０８９ ６５７ ４３２ １０８９ ７５６ ３４２ １０９８ ６７５ ４２３ １０９８ ７８９ ２４６ １０３５ ８７９ ４２６ １３０５ ７８９ ２６４ １０５３ ８７９ ６２４ １５０３ ５８９ ４３７ １０２６ ８５９ ３４７ １２０６ ５８９ ４７３ １０６２ ８５９ ７４３ １６０２ ≡≡≡ 上記パターンにおいて、足す数のほうで、百の位、十の位、一の位について、交換可能です。（Ｔ⇔Ａ、Ｈ⇔Ｒ、Ｙ⇔Ｅ） 全解は１２＊８＝９６通りかと。 ＩＤＯＬだけでみると、１０８９、１０９８でダブりがあるので、１０通り… ≡≡≡ と、数えましたが、かってに君のおきに召さずに撃沈しました……
……取り敢えずみつけた全パターンだけおとしておきます。この後、欠けている部分を探します。
たっくん４
完璧ですね！
かってに君の設定がうまくなかった模様です。修正しました。 私の刈り込み手順です。
たっくん４さんによるヒント、No.23でのerrorさんとたっくん４さんとの会話に助けられまして、大体において以下のような手順でした。 §１ 一般性を失わずに考えやすくする IDOL について問われていますので、一般性を失わうことなく以下の仮定をして構わないことになります。 T>A H>R Y>E §２ 繰り上がりについて考える 繰り上がりについてのみ考えると百の位で繰り上がることは共通ですが、以下の①から④までの４つの場合になります。（しかし、後で別な理由で判明するように実際には２つの場合に絞られます。） ①十の位、一の位で繰り上がる T+A+1=10I+D H+R+1=10+O Y+E=10+L ②十の位でのみ繰り上がる T+A+1=10I+D H+R=10+O Y+E=L ③一の位でのみ繰り上がる T+A=10I+D H+R+1=O Y+E=10+L ④繰り上がりなし T+A=10I+D H+R=O Y+E=L §３ D+O+Lの値を求めつつ②③が不適を示す ①から④の両辺にD+O+Lを加算し、さらに、I=1、T+A+H+R+Y+E+D+O+L=44を考慮します。 ①より 46=30+2(D+O+L) D+O+L=8 ②より 45=20+2(D+O+L) D+O+L≠自然数 不適。 ③より 45=20+2(D+O+L) D+O+L≠自然数 不適。 ④より 44=10+2(D+O+L) D+O+L=17 === ※§１から§３までのまとめ ②③は不適。 ①のとき、 （百の位、十の位、一の位で繰り上がるとき） D+O+L=8 ④のとき、 （百の位のみで繰り上がるとき） D+O+L=17 === §４ 0のありかを制限する T>A H>R Y>E より T、H、Yは0ではない。 また覆面算の一般的ルールにより最上位の文字は0ではないため、 Aは0ではない。 ①のとき、 （百の位、十の位、一の位で繰り上がるとき） E=0と仮定すると繰り上がることに矛盾する。 また、④のとき、 （百の位のみで繰り上がるとき） E=0と仮定するとY=Lとなり覆面算のルールに抵触する。従って①でも④でもE=0と仮定すると矛盾する。ゆえに、 Eは0ではない。 次にRが0となりうるか調べる。 ①のとき、 （百の位、十の位、一の位で繰り上がるとき） H+R+1=10+O R=0と仮定すると H+1=10+O H=9+O R=0と仮定しているので O>0 。 すると H≧10 で矛盾。 また、④のとき、 （百の位のみで繰り上がるとき） H+R=O で、R=0 とすると、 H=O となり矛盾。 ①でも④でもR=0で矛盾するので Rは 0 ではありません。 === ※§４のまとめ T、H、Y、A、R、Eは 0ではないことがわかりました。 D、O、Lのどれかが0です。 ＊実はLも0ではありませんが§４で示すのは不効率なのであとにまわします。 === §５ ターゲットのIDOLについて現段階でわかることのまとめ。 ①④共通 I=1 です。 D、O、Lのどれかが0です。 ①のとき、 （百の位、十の位、一の位で繰り上がるとき） D+O+L=8 ④のとき、 （百の位でのみ繰り上がるとき） D+O+L=17 §６ DOLを決定していく作業 ④⇒①の順に。 §６:④ （百の位でのみ繰り上がるとき） D+O+L=17 D、O、Lのどれかが0。 十の位も一の位も繰り上がらないので、OもLも0ではありえない。従って D=0が確定。 O+L=17 なので、 IDOLは 1089 もしくは 1098 が候補です。 残りで使える数字は{2,3,4,5,6,7}ですが、 (T,A)=(7,3) または (T,A)=(6,4) となります。 (T,A)=(7,3)のときには、8をつくるために(6,2)、9をつくるために(5,4)を用意すればオーケーでこれ以外に方法はない。 (T,A)=(6,4)のときには、8をつくるために(5,3)、9をつくるために(7,2)を用意すればオーケーでこれ以外に方法はない。 具体的には、 1089=765+324 1089=657+432 1098=756+342 1098=675+423 です。 ※ §６:④はこれで終わりです。 §６:① （百の位、十の位、一の位で繰り上がるとき） D+O+L=8 D、O、Lのどれかが0。 このとき、下記の（あ）、（い）の可能性しかありません。 (あ)D、O、Lが、0、3、5（順不同） (い)D、O、Lが、0、2、6（順不同） ここで、Lは0でないことを先に示します。 (あ)でLは0だと仮定します。使われていない数字は{2、4、6、7、8、9}です。このときにD、Oのどちらかは5ですが、このことは T+A=10+D-1 ⇔ T+A=14 または H+R=10+o-1 ⇔ H+R=14 を意味します。足して14になる組み合わせは{2、4、6、7、8、9}のなかでは{8、6}のみです。D、Oのどちらかを5とするために{8、6}を消費し、この段階で使われていない数字は{2、4、7、9}のみとなります。一の位のLを0にするためにはY+E=10としなくてはいけないのですが、{2、4、7、9}からはできません。 (あ)でLは0だと仮定しては矛盾することになります。 次に(い)でLは0だと仮定します。使われていない数字は{3、4、5、7、8、9}です。 このときにD、Oのどちらかは6ですが、このことは T+A=10+D-1 ⇔ T+A=15 または H+R=10+o-1 ⇔ H+R=15 を意味します。足して15になる組み合わせは{3、4、5、7、8、9}のなかでは{8、7}のみです。D、Oのどちらかを6とするために{8、7}を消費し、この段階で使われていない数字は{3、4、5、9}のみとなります。 一の位のLを0にするためにはY+E=10としなくてはいけないのですが、{3、4、5、9}からはできません。 (い)でLは0だと仮定しては矛盾することになります。 （あ）でも（い）でも L≠0 とわかりました。 ここまで絞れば、IDOLについての候補は以下の8通りとなります。 IDOL 1035=789+246 1305=879+426 1053=789+264 1503=879+624 1026=589+437 1206=859+347 1062=589+473 1602=859+743 です。 T>A H>R Y>E の制限をつけて解析しましたが、T⇔A,H⇔R,Y⇔Eの交換を行ってもIDOLには影響がでないことを最後に思い出しておくこととします。
エレガントならぬエレファントな刈り込み手順を書き記しました。
たっくん４
皆さんの回答がとても美しいなぁ。恐縮の至りです。
皆さんの正解、および私の説明を公開しました。
回答を寄せてくださった皆さん、ありがとうございました。 2015/12/14 1:00
正解発表お疲れ様です。
返しのコメント、ヒントの出るタイミング、内容と私にとって理想的でした  おかげさまで直感→粗い枝きり+しらみつぶし→ヒントを得て（一応）理詰めでの枝きり→ＤＯＬ分離からＩＤＯＬまとめてへ修正→仕上げと進んで行けて楽しかったです それにしても他のみなさんの解答の美しく、楽しいこと！ 個人的に「すっきり王」だと思ってるみれいさん。 私がやりきれなかった「0」掘り下げ戦法で完走したerrorさん。 個人的に一番気に入ったロジック>>48の【１】のYssさん。 私の>>33と>>37を合わせた内容を比べ物にならないくらい分かりやすく説明した>>55の§３のs_hskzさん。 この問題は一粒で何度楽しめたことやら 改めて出題ならびに進行管理ありがとうございました
たっくん４
過分なお褒めの言葉をありがとうございます
。全部偶然ですけど ところで、かってに君のコメントの 「♪大きいわ、大物よ♪ 」は、 故・野坂昭如氏出演、「♪ソ，ソ，ソクラテスかプラトンか」ＣＭのバックコーラス部分です。 出題中に逝去され、先週はこのＣＭが何回もＴＶに流れてましたね。 ご冥福をお祈りいたします。
なるほどー。たっくん４さんの回答、そして皆さんの回答をざっと拝見して、ＩＤＯＬが単に９の倍数というだけでなく、繰り上がり１回だと数字の合計が１８、繰り上がり３回だと合計が９になるところまで明らかにできれば、
かなり効率的に可能性を絞り込めたのですね・・・ そこが・・・届かなかった・・・ （でも楽しい問題でした♪ ♪）ありがとうございました。
たっくん４
Ｙｓｓさん、ご参加ありがとうございました！
年内にもう一個覆面算を出題する予定ですので、ぜひご参加くださいませ。
たっくん４
みれいさんのようにスッキリ解けていれば、最後はしらみつぶしでも大した手間ではないですよね。ご参加ありがとうございました。
使おうとしても使いきれませんでした↓ 2T+3H+Y+2A+3R+E ≡-I+2D+3O+L ( mod 7 ) または 2T+3H+Y+2A+3R+E+D+O+L ≡-I+2D+3O+L+D+O+L ( mod 7 ) または 2+T+2H+A+2R ≡-I+3D+4O+2L ( mod 7 ) YとEとを隠してもいいことないのでした。
たっくん４
s_hskz さん、いろいろ頑張っていただいてありがとうございました
新たに覆面算の問題をアップしました。こちらはわりと s_hskz さんの解き方に向いているかなと思います。よろしければぜひご高覧ください 
久々にこのスレを覗いてみたら・・・>>20のレス欄の
「この英単語、覆面算とスクラブル（単語ゲーム）でしか見たことが無いのですけど」 を見てまさかここでスクラブルを知ってる人に会うとは驚き ＴＨＹは母音が節約出来るのと、素点で9点もある上にＹがフックしやすいのとでなかなか便利ですよね （そもそも大半の三文字単語は便利って説もありますが ）・・・問題と関係ない話ですいません ＞みなさま |
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