とり急ぎ(1)のみ提出。
　以下ぼやき餅 さんにとってはどうでもいい＜歴史＞な話ですが、
　高次の因数分解って、ワタシが入試した新過程 との旧過程（およそ昭和50年以前の入試）とで、「どこまで開くか」要求される段階が異なったと記憶します。私の場合、数学教師によって要求水準が違って少し戸惑ったものでした。単に私の母校の問題なのかな

(2)も提出。-40だとそれこそ有理数係数の範囲に解がないので、悩んでおりました

失礼、タイプミスで隣の数字を押してしまってました

(2)だけ

頭がショートしそうになりながら考えてました
どうでしょうか...？

因数分解は苦手でございまして。

因数定理あてずっぽう作戦しか存じあげません。

不躾とは存じますが、コメント欄をお借りして質問をさせて頂きたく存じます。

a = √(5) + √(22 + (2 √(5)))

b = √(11 + (2 √(29))) + √(16 - (2 √(29)) + (2 √(55 - (10 √(29)))))

とします。このとき、a、b はともに、方程式

x^4 - 54x^2 - 40x + 269 = 0

の４実根のうち最大のものである、すなわち、a = b である、と教わりました。

方程式を介さずにダイレクトに a = b を示す方法はあるものなのでしょうか。

宜しければ何卒ご教示下さいませ。
（この件、気にかかっていてしょうがありません。）

問題の回答は囁きます。
↑上の質問については、
√(x+y+2√(xy))=√x+√y
を知っていれば変形できます。

x=11+2√29,y=11-2√29とすると、
b=√x+√(5+y+2√(5y))
=√x+√5+√y
=√5+√(x+y+2√(xy))

x+y=22,xy=5なので、
b=√5+√(22+2√5))=aです。

申し訳ありません。ぼやき餅さんとたっくん４さんとの間で会話になっていた、有理係数の範囲での因数分解についてのテーマから、ついつい連想して横入りで変な質問をしてしまいました。まことにすみません。

有理係数の範囲を越えて因数分解した結果が、実はおなじことなのに、そのことが自明ではない、複数の形を持つ例なのかなあと思ったものでして、他意はございません。 どうかお許し下さいますようにお願い申し上げます。

あ、私が投稿する直前にあれれさんから、解説を頂けたのでしたか。
まことに有り難うございます。 なんだかホッといたしました。 わかって嬉しいです。

出題ありがとうございます 　まずは(1)をやりました

(2)です　どうでしょうか

タイトルが「困」数分解になってますね！まさにそんな感じです

とりあえず（１）のみ。

（２）も提出。ここまででＯＫでしょうか？

凡ミス失礼しました。

そろそろたどり着いたかと

そろそろ解答公開いたします
(明日あたり)

解答公開しました。

＜ざっくり解説＞
(1) x についての3次式、y についての4次式だが、
　　Ｙ＝y²とおくと Y の2次式となるので、y について整理するとよい。

(2) A＝x⁴とおくと、Aについての3次式。因数定理を駆使しましょう。
　　x⁴＋4 も因数分解できるので注意。(複2次式の有名な形)

x^4 + 4 について「平方抽出」すれば良いとの説明があることをこのたび学びました。以下の二行目あたりです。

x^4 + 4
= x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2
= (x^2 + 2)^2 - (2x)^2

あとは A^2 - B^2 について処理をと。そんな用語、初めて知りました。 びっくりです。

そろそろロックするぜよ