自然数だとおも・・いたいけど・・・
限りないから数えられない気もする･･･
うーん・・・

平方数の定義を『自然数の二乗になっているような自然数』だとすれば、
当然、自然数の方が多くなりますね。

また、自然数を『正の整数』だとすれば、
整数＞自然数＞平方数
となりますから、整数の方が多くなります。

……本当に良いのか、不安です。

無限とは限りがないことなのでどれも「数え切れないくらい多い」です。
だからどれも同じ多さではないでしょうか？

答えは
１に対し1
２に対し４
と一つの数に対し１つの平方数があるので同じ数。
１に対し±１
４に対し±２
ですから整数のほうが多くなります。

なるほど……。

有限個の場合には、必ず「自然数＞平方数」になるのに、
無限個になると「自然数＝平方数」となってしまうのは、
私のような文系人には、感覚的に理解しがたいものですね

自然数と整数の場合、
１に対し０
２に対し１
３に対し−１
４に対し２
５に対し−２
という風に１対１の対応がつきます。
つまり、自然数と整数の個数は同じ。
自然数と平方数の個数が同じだから平方数と整数の個数も同じ。おや？

さらなる拡張が可能ならば……

無限個あるもの（整数・自然数・素数などなど）
は、やはり無限個あるものと１つずつ対応が出来てしまうので、
無限個＝無限個となり、その総数は等しくなります。



……というのは、もちろん詭弁ですね。
実際は、定義や定理などにより、
大小関係の判別は可能ですよね。

考え方としては「無限の密度」という概念を用います（大小は直接比べられないので）
このとき自然数・平方数・整数の濃さは等しいですが、濃さが違う集合ももちろんあります。例えば有理数と無理数など。

水心子さんは「素数」の例を挙げてくださいましたが、素数の密度はまだ分かっていないはずです。一体素数はどれくらいの頻度で現れるのでしょうか？
（無限に存在することは分かってますが）

素数の頻度は素数定理を使えばある程度分かります。問題点は僕自身、素数定理が理解できていないのと式等々を忘れてしまったんですが…(調べてみよっと)
無限については、この問題でいくと平方数ですが、偶数の等の数えられる無限を可算無限集合といいます。さて、ロシアのカントールは、数えられる無限(ようは有理数)をアレフ・０(アレフの記号をどう打ったら良いかが分かりません。)となずけ、無理数を数えることのできない無限だと証明し、無理数が有理数より多いと証明しました。そして、無限にはアレフ０からアレフ１アレフ２と無限に種類があると考え、連続体仮説(２＾アレフ０＝アレフ１)を考えました、証明はできませんでしたが。その後チェコのゲーテルが現在の数学の公理系では連続体仮説が証明不可能な命題だと証明しました。