この問題は良問だと感じます

全ての次元について一般化したい。

再提出。
　/ の位置がずれてました 　
「数式がおかしい」ってのはこう言うことでよいのでしょうか

こんなかんじでしょうか？

これでした

私も良問と思いました←でも正解してから言わなきゃ・・・ですよね（自信はイマイチ）

そういえば受験生の頃は、確率の問題をソッコーで解くために階乗の値を、１０の階乗ぐらいまで暗記してました。今はもう・・・覚えてませんが

これで。

比例定数

解答です．

ある2つの格子点の中点が格子点であるということは，x,y,z座標共に差が偶数であるということです．ということは，
(偶数，偶数，偶数)，(偶数，偶数，奇数)，(偶数，奇数，偶数)，(偶数，奇数，奇数)，
(奇数，偶数，偶数)，(奇数，偶数，奇数)，(奇数，奇数，偶数)，(奇数，奇数，奇数)
というグループに分ければ，同じグループ同士の中点は必ず格子点であり，違うグループ同士の中点は必ず格子点ではありません．つまり，中点が格子点であるための必要十分条件は同じグループに属することです．

選ぶ点が1個ではそもそも中点がない．
選ぶ点が9個以上では必ず同じグループに属する点が出てくるので確率0
選ぶ点がn(2≦n≦8)個では8グループ中異なるnグループを選ぶ確率だから8Pn/8^n