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このクイズの参加者（6人）
算数・数学クイズ
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 ボールを出したり入れたり
難易度：★★
 ぼやき餅
2015/04/05 21:24
問 スイッチを押すとボールが出てくるマシンA・B・C と、中身が空の箱がある。
マシンA のスイッチを1回押すと、番号「2」または「3」のボールが1個(ともに等確立で)、 マシンB のスイッチを1回押すと、番号「3」または「4」のボールが1個、 マシンC のスイッチを1回押すと、番号「4」または「5」のボールが1個出てくる。 また、スイッチを1回押してボールを手持ちに加える毎に、以下の操作を行う。 〈操作〉 ・番号「k」のボールをちょうどk個持ってる時、それらk個のボールを箱に入れる。 (1) マシンA のスイッチを5回押した後、マシンC のスイッチを5回押す。 箱の中のボールが10個になる確率を求めよ。 (2) マシンA のスイッチを5回押した後、マシンB のスイッチを5回押す。 箱の中のボールが10個になる確率を求めよ。 (3) マシンA のスイッチを5回押した後、マシンC のスイッチを5回押す。 箱の中からボールを1個取り出した時、その番号が「4」である確立を求めよ。 (参考・東京大学) 問題の設定が元ネタより単純になってます。受験勉強にどうぞ  ※省略してますが、マシンB・Cの2種類のボールの出現確率も、ともに等確率とします。
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回答募集は終了しました。
ぼやき餅
正解でーす
(1)マシンAから2つの②と3つの③を出し、マシンCから5つの⑤を出すしかない。
前者は10/32、後者は1/32。合計10/1024。 (2) ・②② ②② ③③③ ③③③ →マシンAから4個の②と1個の③、マシンBから5個の③を出す必要がある。 前者を満たす確率は5/32、後者を満たす確率は1/32。合計5/1024。 ・③③③ ③③③ ④④④④ →マシンAから5個の③、マシンBから1個の③と4個の④を出す必要がある。 前者を満たす確率は1/32、後者を満たす確率は5/32。合計5/1024。 2つ合わせると10/1024 (3) マシンAに由来する、④以外の球の数は 2個 … [2,2,2,3,3] (10/32) 3個 … [3,3,3,3,2] [3,3,3,3,3] (6/32) 4個 … [2,2,2,2,2] [2,2,2,2,3] (6/32) 5個 … [2,2,3,3,3] (10/32) マシンCから出た球は「全く箱に入らない(26/32)」「④が4個入る(6/32)」のどちらか。 ここで④を箱に入れないと、箱から取り出したボールは④にはなり得ない。 ④以外の球が2個 → 6/32 × 10/32 × 4/6 = 240/6144 ④以外の球が3個 → 6/32 × 6/32 × 4/7 = 144/7168 ④以外の球が4個 → 6/32 × 6/32 × 4/8 = 144/8192 ④以外の球が5個 → 6/32 × 10/32 × 4/9 = 240/9216 全て足すと1105/10752。 
数学オリンピックで出そうな問題。
ぼやき餅
正解です
 丁寧な説明ありがとうございます 
１： 答 10/1024 = 5/512
Ａから（２、３）個（確率 10/32） Ｃから（０、５）個（確率 1/32) ２： 答 10/1024 = 5/512 Ａ（０、５）* Ｂ（１、４） 5/1024 Ａ（４、１）* Ｂ（５、０） 5/1024
受験時代の時間配分テクニックに従い、
解き易そうに見える１と２だけ取り急ぎ提出します。 当初「手持ち」と「箱」を混同してしまい、何が何やらでした 
ぼやき餅
正解です
(3)は少し時間がかかりますからね
ぼやき餅
正解でーす
ぼやき餅
分子は合ってますが分母が違います
ぼやき餅
正解でーす
ヒミツ
(3)を提出します。
分母を最初にイメージして整理した上で計算できたので 「当初の想像よりは」筆算でも負担が少なかったです。 ※こんなのエクセルで解けばすぐ計算できるのに 一昔前の東大は面倒な分数をさせるのが計算が大好きだったなぁと思い出しました。 ↓しまった 入試ならあってはならないケアレスミス  でもそうしたらさらに少し易しくなりますね 
ぼやき餅
残念!
後半に押すのはBではなくCのスイッチです
ぼやき餅
正解です
(1)
2,3,4,5の和が10になる組み合わせは以下の通りである．右辺の単位は組． (2番,3番,4番,5番)＝(5,0,0,0)，(3,0,1,0)，(2,2,0,0)，(1,1,0,1)，(1,0,2,0)，(0,2,1,0)，(0,0,0,2) そのために必要なボールの数は順に(10,0,0,0)，(6,0,4,0)，(4,6,0,0)，(2,3,0,5)，(2,0,8,0)，(0,6,4,0)，(0,0,010)である． 今，2,3番が合わせて5個，3,4番も合わせて5個しか手に入らないのであり得る組み合わせは(2,3,0,5)のみ．この組み合わせとなる確率を求めればよく {5!/(2!3!)×(1/2)^5}×(1/2)^5＝5/512 (2) 2,3,4の和が10になる組み合わせは以下の通り． (2番,3番,4番)＝(5,0,0)，(3,0,1)，(2,2,0)，(1,0,2)，(0,2,1) そのために一ようなボールの数は順にP(10,0,0)，Q(6,0,4)，R(4,6,0)，S(2,0,8)，T(0,6,4) 今，2番は最大5個なのでP,Qは候補から消える．4番も最大5個なのでSも候補から消える． よって，R(4,6,0)，T(0,6,4)のみ考える． Rは，Aから2が4個，3が1個出て，Bから3が5個出る場合しかない． この確率は，5!/(4!1!)×(1/2)^5×(1/2)^5＝5/1024 Sは，Bから4が4個，3が1個出て，Aから3が5個出る場合しかない． この確率も同じく5/1024 全部合わせて5/512 (3) 全ての組み合わせを考えてみると，以下の36通りある． (2番，3番，4番，5番)＝ <01>(5,0,5,0)，<02>(4,1,5,0)，<03>(3,2,5,0)，<04>(2,3,5,0)，<05>(1,4,5,0)，<06>(0,5,5,0) <07>(5,0,4,1)，<08>(4,1,4,1)，<09>(3,2,4,1)，<10>(2,3,4,1)，<11>(1,4,4,1)，<12>(0,5,4,1) <13>(5,0,3,2)，<14>(4,1,3,2)，<15>(3,2,3,2)，<16>(2,3,3,2)，<17>(1,4,3,2)，<18>(0,5,3,2) <19>(5,0,2,3)，<20>(4,1,2,3)，<21>(3,2,2,3)，<22>(2,3,2,3)，<23>(1,4,2,3)，<24>(0,5,2,3) <25>(5,0,1,4)，<26>(4,1,1,4)，<27>(3,2,1,4)，<28>(2,3,1,4)，<29>(1,4,1,4)，<30>(0,5,1,4) <31>(5,0,0,5)，<32>(4,1,0,5)，<33>(3,2,0,5)，<34>(2,3,0,5)，<35>(1,4,0,5)，<36>(0,5,0,5) それぞれの最終的な箱の中身を記述すると <01>(4,0,4,0)，<02>(4,0,4,0)，<03>(2,0,4,0)，<04>(2,3,4,0)，<05>(0,3,4,0)，<06>(0,3,4,0) <07>(4,0,4,0)，<08>(4,0,4,0)，<09>(2,0,4,0)，<10>(2,3,4,0)，<11>(0,3,4,0)，<12>(0,3,4,0) <13>(4,0,0,0)，<14>(4,0,0,0)，<15>(2,0,0,0)，<16>(2,3,0,0)，<17>(0,3,0,0)，<18>(0,3,0,0) <19>(4,0,0,0)，<20>(4,0,0,0)，<21>(2,0,0,0)，<22>(2,3,0,0)，<23>(0,3,0,0)，<24>(0,3,0,0) <25>(4,0,0,0)，<26>(4,0,0,0)，<27>(2,0,0,0)，<28>(2,3,0,0)，<29>(0,3,0,0)，<30>(0,3,0,0) <31>(4,0,0,5)，<32>(4,0,0,5)，<33>(2,0,0,5)，<34>(2,3,0,5)，<35>(0,3,0,5)，<36>(0,3,0,5) それぞれが起こる確率は以下の通り．但し分母の1024は省略． <01>1，<02>5，<03>10，<04>10，<05>5，<06>1 <07>5，<08>25，<09>50，<10>50，<11>25，<12>5 以降，箱に4が無いので計算の必要なし また，箱から1個取りだしたときに4である確率はそれぞれ <01>1/2，<02>1/2，<03>2/3，<04>4/9，<05>4/7，<06>4/7 <07>1/2，<08>1/2，<09>2/3，<10>4/9，<11>4/7，<12>4/7 以降0 よって求める確率は (1*1/2＋5*1/2＋10*2/3＋10*4/9＋5*4/7＋1*4/7＋5*1/2＋25*1/2＋50*2/3＋50*4/9＋25*4/7＋5*4/7)/1024 ＝1105/10752
計算ミスがあるかもしれない．
ぼやき餅
正解です
解説が丁寧で良いですね
答： 1105/10752 =約 10.28%
Ｂから玉４が４個以上の確率 6/32 発生確率 箱内の玉数 Ａ(0,5) 01/32 7 Ａ(1,4) 05/32 7 Ａ(2,3) 10/32 9 Ａ(3,2) 10/32 6 Ａ(4,1) 05/32 8 Ａ(5,0) 01/32 8 玉数 発生確率 9 60/1024 * 4/9 8 36/1024 * 4/8 7 36/1024 * 4/7 6 60/1024 * 4/6 解は上記の総和で 1105/10752 =約 10.28% 概算による検算： そもそも箱に４が入る確率 6/32 箱内の４以外の玉の数の期待値･･･ちょうど3.5個 ４が入っていた場合、 4/7.5 より高い確率で４が出る 答えは 10%強であるはず
というわけで３番を再提出。ナサケナイ
ぼやき餅
正解でーす
ぼやき餅
正解です
ぼやき餅
残念ながら不正解です
考え方としては、 「番号4を含むいくつかのボールが入った箱から一個引いた時、 4のボールを引き当てる確率を求める」というもので、 「4が箱に入らない場合」は計算に必要ありません。 ※もちろん箱にボールが何個入ってるか定まらないので、 そこは場合に分けて考えなければなりません。 ヒミツ
表記が省かれてるとこ埋めて(埋め方は妥当だと思いますが)作ってて、問題文のままだと答えは不定だったりしますよね、これ。
追記 ただ単に、装置A以外での玉の出現割合について表記がないなってだけです。回答ではすべての装置からそれぞれ2種類の玉が等しい確率ででることにしてますが、表記がない以上は、A以外で片方の玉しか出なくても論理的に偽ではないので 
ぼやき餅
(1)正解です
(2)は不正解です。見逃してるパターンがあるのでは？ (3)も不正解です 問題のココが曖昧で分からない、というのがあればできる限りお答えします。 追記 すみません B,Cの玉の出現割合も追記します。
ぼやき餅
残念ですが・・・
確率はもっと低いです。
ぼやき餅
うーん、確率はもっと低いです
 (ちなみに分子は合ってます)何度も挑戦してもらえるのは、問題作成者として非常に嬉しいです
ぼやき餅
値としては大分近くなりましたが不正解です
ぼやき餅
さっきより遠くなった
３番。<br>１０７５２分の１１０５．<br><br>No13の返答をヒントに、No18は４が入ってる場合のみひく計算で、４５％になりました。分母は４が入ってる場合のみの全パターン。今回は４の有無に関わらず引く場合を計算しました。<br>もしかしたら、４が入ってる場合のみひく時と、４が入ってなくてもひく時の確率は同じなのでしょうか。<br>
３番。
すみません。これで最後にしますと言っておきながら回答してしまいます ずいぶん楽しませてもらいました
ぼやき餅
おお!正解です
解答公開しました。
〈解説〉 (1)マシンAから2つの②と3つの③を出し、マシンCから5つの⑤を取り出すしかない。 (2) ・②を4つと③を6つ ・③を6つと④を4つ の2パターン。 (3) (④のボールを含めて)ボールは最低6個、最高で9個入ります。 |
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