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 ○○姫と○人の小人
難易度：★★★★
 あれれ
2015/03/31 17:55
ある国に15人の小人たちがのどかに暮らしていました。
ところが、その国のお姫様が小人を捕まえるように命じたため、 10人の小人が捕まり、牢屋に入れられてしまいました。 残り5人の小人は捕まることを恐れて隠れ家に潜んでいます。 その中の一人が夢を見ました。 姫は小人たちに向かって言いました。 「・・・という夢を見たんだ」 「それはきっと予知夢だな」 「一族に危機が迫った時に予知夢を見るという言い伝えがあるからね」 「もう一度寝たら続きが見られるんじゃないか？」 「いや。予知夢は1回だけ、選ばれた者のみが見ることができるのじゃ」 「これは今夜起こることだと思う。それまでに作戦を考えよう」 「そうだな。5分じゃ無理そうだからな」 「あと半日か。なんとかなるんじゃないかな」 「だけど、どうやって作戦を伝えるんだい？」 「そうだ！下手に姿を見せると俺たちまで捕まってしまうぞ！」 「手紙を書いて牢屋に投げ込めばいいさ」 「なるほど！では作戦を考えるぞ」 「要するに、姫の選んだサイコロが異なれば最後の状況も異なると」 「うむ。そうできればいいわけだな」 「巨大な表を作ればいけるのかも知れんが・・・」 「手紙には書ききれんだろうし、作ってる時間もないだろうな」 「では計算で決めるしかないな」 「そんなことができるのか？」 「分からん。色々試してみることにしよう」 こうして小人たちは仲間たちを救う方法を考え始めました。 ◇◇◇ 小人たちの推測どおり、それは予知夢で、 姫は今晩、捕らわれている小人たちにあのゲームを持ちかけます。 捕らわれている小人全員が助かる確率をなるべく高くするには、 どうすればよいでしょうか。 姫が動かしたサイコロとそのときの目の状況から代表者が動かすサイコロを決める方法と、 最後のサイコロの目の状況から答えを決定する方法を囁いてください。 ※ この問題は穴埋め問題ではありません。 サイコロは普通の立方体のものです。 目の数は1から6で、6面すべて異なります。 サイコロを振ったときに、どの面が出る確率も等しく1/6です。 姫は無作為にサイコロを選ぶものとします。 代表者は必ず一つのサイコロの目を変えないといけません。 姫または代表者の操作により、サイコロの目は6→5→4→3→2→1→6の順に変化します。 代表者以外の小人に分かるのは、それぞれのサイコロは誰が振ったものなのか、 それぞれのサイコロの最終的な目の数はいくつなのか、ということだけです。 それ以外の情報を得ることはできません。 捕らわれた小人たちはこのゲームに勝つこと以外に助かる術はありません。
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回答募集は終了しました。
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まず、解答から。
目隠しされた小人に、 順に1から9まで番号をつけて考えます。 リーダーは10番目。 次の計算式を、リーダーと目隠しされる小人で、 あらかじめ共有しておきます。 Σ記号が見づらくてすいません。 ( Σ(n=1から9まで) Dn*n ) MOD 10 ここでDnはn番目の小人のサイコロの出目、 MOD 10 は10で割ったときの余りです。 リーダーは、姫が変えたサイコロが、 ｎ番目の時、上の式の値がnになるように、 操作するサイコロを決めます。 解答は以上。 以下、考え方ですが、 まず、目隠しされた小人にとって、 唯一の情報源は、10個のサイコロの目だけ。 ここに、なんらかの「痕跡」を残せれば、 それが情報になる、と考えるわけですが、 1から10まで、姫が行う行動の場合の数は、結局10通り。 MOD10で表せば、ちょうどぴったりです。 しかも、うまく考えれば、リーダーが操作できるサイコロの 場合の数も10ですから、可能性はあります。 この条件を満たせば、計算式は色々あり得ると思いますが、 もっともシンプルに考えると、ｎ番目の出目にｎをかける というもの。 これなら、姫が操作した後のサイコロの目が、 上の計算式で、いくつになっていようと、 リーダーは必ず、0から9まで、必ずねらった値に、 式の値を設定することができます。 
いや、これだと出目が1のサイコロを操作した時、
結果が破綻してしまう気がしました。 たぶんこれだと1/6ぐらいの確率で処刑されてしまう・・・かな。 とりあえず、一旦投稿して、また考えます。  
あれれ
破綻してますね。
代表者がどのサイコロを動かすのか決められない場合があります。 とりあえず。<br>代表者は、左端のサイコロを『1』の目が横の面に来るようにし、『1』の向きで姫のサイコロを指す。もし姫が左端を選べば、サイコロが無い向きにする。仮に『1』の目が、上または下の面に来るようになったら、他の目で代用。この代用する目も、予め相談しておく。1なのか、代用なのかは、上下の面が『1,6』のペアかどうかで判断する。また、左端のサイコロと姫のサイコロの直線上に別のサイコロがあった場合、残念だが詰み。
馬鹿な自分が必死になって辿り着いた答えがこれだよ！
 数学的ではなく、物理的に考えてみました。 …悲惨ですな。 
あれれ
「分かるのは、それぞれのサイコロは誰が振ったものなのか、
それぞれのサイコロの最終的な目の数はいくつなのか、ということだけ」 と書いてありますので、それ以外の情報は使わない方法でお願いします。
あれれ
あれをそのまま使ってもうまくいかないとは思いますが、
参考程度にはなるでしょう。
あれれ
9個ではないです。
「代表者以外の人は目隠しをしたままで」と言ってますから、 サイコロを振るのは代表者を含めた全員だと分かると思いますが。
>>4
「代表者以外の全員に目隠しをしてもらいます」「代表者以外は目隠しをしたままで」と矛盾した記述があるのでたっくん4さんは質問したのではないかと思います。 私は数学はさっぱりですが、一生懸命に考えてます。 こちらも基本的な質問になりますが、「誰がどのサイコロを振ったのかわかる」とはどういう状況でしょうか？サイコロが振られた順に並べてあるとかなら、解答を考える(ここに書けるかはわかりませんが)上で参考になるかな…と思いまして。 ヒントになっちゃってるなら消しますので、よろしくお願いします。
あれれ
えーと。
何が矛盾しているのか分かりません。 「代表者以外の全員に目隠しをしてもらいます」 代表者以外の小人は目隠しされます。 代表者は目隠しされません。 「代表者以外の人は目隠しをしたままでお願いしますわ」 代表者以外の小人は目隠しをしたままサイコロを振ります。 代表者は目が見える状態でサイコロを振ります。 ということなのですが。 ご質問については、どう考えるのも自由ですが、 それぞれの小人が振ったサイコロのところに姫が誘導してくれると考えればよいでしょう。
↑そういうことでしたか
てっきり全員目隠し状態でサイコロを振るのかと思っていましたm(_ _)mというかよく読んだら「全員でサイコロを…」ってありましたね。失礼しました 
あれれ
いえいえ。
矛盾はなかったようでよかったです 
予知夢を見たということは、危機が迫っている、ということで、もし救われる未来なら、危機ではなく、予知夢を見ることもない。
よって100%助からない。
こういうことではないかと。
あれれ
それだと予知夢は全くの役立たずですね
目は無視して特定の小人が振ったサイコロを答えとする という方法でも、助かる確率10%になります。 サイの数は１０−１５個までの可能性がありますよね･･･手紙を書いて牢屋に投げ込んだ際にその小人も捕まった場合。10人よりも増えた場合にも姫が同じゲームを持ちかけてくれるのは前提と言うことでよろしいでしょうかね。「姫は今晩、捕らわれている小人たちにあのゲームを持ちかけます。」で確定していると判断すればよいのかな？
回答1：ここで２人追加で捕まって、囚人を12人にして、なおかつ姫がこのゲームを行ってくれるとすれば、「100％助かる」方法があります。 １２人（のサイ）にそれぞれ０から１１までダブりなくＩＤを割り振ります。 鍵１：ＩＤが０〜５のサイの和が奇数であれば０、偶数であれば６ 鍵２：それぞれのサイの目×ＩＤの内積（１２個の和）を６で割ったときの余り 最後に示された 鍵１＋鍵２が、自分のＩＤとあったサイが正解 代表者は、どれか特定のサイコロの目を１つ減らす（あるいは５つ増やす）ことで、 自らのメッセージが０から１１までを完璧にコントロールできます。 回答2：囚人が10人固定の場合 以下に成功率 41/45 約91.1% の作戦を提示します。 ＜作戦＞ 代表者以外の９人（のサイ）にそれぞれ（０，０）から、（２，２）までダブりなくＩＤを割り振ります。 鍵１をそれぞれのサイの目×行列の第１項 内積（９個の和）を３で割ったときの余り 鍵２をそれぞれのサイの目×行列の第２項 内積（９個の和）を３で割ったときの余り とします。 ＜原則１＞ 最後に示された（鍵１、鍵２）が、自分のＩＤとあったサイが正解 ＜原則２＞ ただし、最後に示された（鍵１、鍵２）が、（０，０）だった場合、 代表者のサイコロの目が ・偶数ならば代表者のサイが ・奇数ならばそもそもの（０,０）のＩＤのサイが、正解です。 代表者は、どれか特定のサイコロの目を１つ減らす（あるいは５つ増やす）ことで、 （鍵１、鍵２）が（０，０）から（２，２）までの行列のどこに入るかを完璧にコントロールできます。 例：現状が（２，０）で、それを（１，１）に変えたい場合、（１，２）のサイコロを動かせばよい。 成功する確率は、 （１）代表者か（０，０）以外のサイが正解だった場合 確実に成功 8/10= 72/90 （２）代表者か（０，０）以外のサイが正解でかつ、 姫が動かした時点での（鍵１、鍵２）が（０，０）であった場合 代表者のサイを動かしても（０，０）のサイを動かしても（０，０）を表現できるので、確実に成功する 2/10 * 1/9 = 2/90 （３）（０，０）のサイが正解でかつ、 姫が動かした時点での（鍵１、鍵２）が（０，０）でなかった場合で かつ代表者のサイが奇数の場合 1/10*8/9*1/2 = 4/90 （４）代表者のサイが正解でかつ、 姫が動かした時点での（鍵１、鍵２）が（０，０）でなかった場合で かつ代表者のサイが偶数の場合 1/10*8/9*1/2 = 4/90 （１）-（４）までの和 82/90 = 41/45 約91.1% 検算 失敗する確率 8/90 = 4/45 = 約8.9% （５）（０，０）のサイが正解でかつ、 姫が動かした時点での（鍵１、鍵２）が（０，０）でなかった場合で かつ代表者のサイが偶数の場合 1/10*8/9*1/2 = 4/90 （６）代表者のサイが正解でかつ、 姫が動かした時点での（鍵１、鍵２）が（０，０）でなかった場合で かつ代表者のサイが奇数の場合 1/10*8/9*1/2 = 4/90
意図解が判らないうちは何が＜ヒント＞になるのか判らないというジレンマ
一切ここには記さず、 囁き欄に私の解の前提やら質問やらをゴチャゴチャ書いておきます。 
あれれ
何がヒントになるのか全く判断できないようですので、
今後はコメント欄には何も書かないほうがいいですね。 解答の要件を満たしてはいませんが、 回答1が実質正解なので金メダルをつけておきます。
あれれ
まだまだ確率を上げることが可能です。
あれれ
やろうとしていることは大体分かりますが、
A=a×bではうまくいかないですね。 そこを修正するとその確率になると思います。 さらに確率を上げるにはどうすればいいか考えてみましょう。
1頁目から消えましたのでヒントです。
「うーん。この条件だと確実に助かる方法はなさそうだね」 「ないな」 「そういえば予知夢の内容って自分がこれから経験することなんだよね？」 「うむ。それがどうした？」 「ということは僕はあの場にいるってことだよね？」 「そうか！その手があったか！」 「どういうこと？」 「確実に助かる方法があるってことだよ！」
あれれ
捕まっているのが10人の場合にはそうなります。
さらにヒントです。
捕らわれている小人が10人の場合に、確実に助かる方法があるのか考えてみましょう。 最終的な目のパターンから姫の動かしたサイコロが確実に特定できると仮定します。 姫がサイコロを動かす前の目のパターンをAとします。 姫が動かしたサイコロをXとし、姫の操作によりパターンBに変化したものとします。 代表者がサイコロを動かしてパターンCに変化したとします。 パターンAの総数は6^10。 あるXについてのみ考えると、パターンAとパターンBは1対1に対応します。 一つのXに対応するパターンBの総数も6^10です。 一つのパターンCに対応するパターンBの個数は10個。 一つのXに対応するパターンCの総数をkとすると、 それらに対応するパターンBは重複することがないので、 一つのXに対応するパターンBの総数は10kと分かります。 よって、10k=6^10でなくてはいけませんが、 左辺は10の倍数、右辺は10の倍数ではないので矛盾します。 10人の場合には確実に助かる方法はないと分かりましたが、 人数が異なればうまくいく場合がありそうです。 10人の場合と同様の議論で人数の満たすべき条件が簡単に得られます。 問題文を確認してみると、 ・姫がゲームを持ちかけた時点で捕まっている小人全員がサイコロを振る ・現時点で捕まっている小人は10人 ・ゲーム開始まで半日ある ということは客観的に読み取れます。 ゲーム開始時点で捕まっている小人が10人だとはどこにも書かれていませんので、 異なる人数にできる可能性があります。 「下手に姿を見せると俺たちまで捕まってしまうぞ」 と書かれていますから、わざと捕まれば人数を増やすことができると推察できるでしょう。 「捕らわれている小人全員が助かる」 「このゲームに勝つこと以外に助かる術はありません」 とありますので、人数を減らすのは無理と考えてよいでしょう。 ゲームに参加する小人の人数は10人から15人のいずれかです。 先程の条件を加味すれば人数の候補は一つになります。 その人数の場合には確実に助かる方法が存在します。 二人のこのこ出て行って捕まってメンバーを12人にする
12=2*2*3より、a=0,1,2、b=0,1、c=0,1を満たすa,b,cで作られる任意の組(a,b,c)とサイコロを一対一で対応させることができる。そのように対応させる。 a=n (n=0,1,2)であるようなサイコロ群の目の合計をA[n]、b=n (n=0,1)であるようなサイコロ群の目の合計をB[n]、c=n(n=0,1)であるようなサイコロ群の目の合計をC[n]とする ・代表の動かし方 姫が動かしたサイコロが(p,q,r)であるとする。動かすべきサイコロを(a,b,c)とする A[0]*0+A[1]*1+A[2]*2を3で割った余りがpとなるようにaを決めることができる B[0]*0+B[1]*1を2で割った余りがqとなるようにbを決めることができる C[0]*0+C[1]*1を2で割った余りがrとなるようにcを決めることができる このようにして動かすべきサイコロ(a,b,c)が決まる ・サイコロの目から姫が動かしたサイコロを特定する方法 A[0]*0+A[1]*1+A[2]*2を3で割った余りをp、B[0]*0+B[1]*1を2で割った余りをq、C[0]*0+C[1]*1を2で割った余りをrとすると、サイコロ(p,q,r)が目的のサイコロである
>姫が動かしたサイコロとそのときの目の状況から代表者が動かすサイコロを決める方法と、
最後のサイコロの目の状況から答えを決定する方法を囁いてください。 とのことだったので人数は調整しないものと思いました
あれれ
なるほど。
余計なことを書いてしまったようですね。 正解です。 ふたり、わざと捕まって、人数を１２人にする。
その上で、 サイコロの番号を0,1,2,3,4,5,0’,1’,2’,3’,4’,5’ と振ります。題意よりサイコロを判別することは可能なのでＯＫ。 【計算Ｍ】を定義します ’（ダッシュ）のありなしに関係なく、 サイコロの目に、そのサイコロの番号をかけ算したものを 全て合計し、６で割った余りを求める。 【計算Ｐ】を定義します ‘（ダッシュ）のついたサイコロの目を、 単純に合計し、２で割った余りを求める。 仕込む側の操作 （１）姫が動かしたあとの状態について、【計算Ｍ】を行う。 この値をＭとする。 （２）一方姫が動かしたサイコロの番号を（ダッシュを除いて） Ｄとする。 （３）Ｍ−Ｄの値を計算する。 （但しマイナスになった場合は６を足して、 １から５の範囲にする） （４）姫が動かしたあとの状態について【計算Ｐ】を行う。 この値をＰとする。 （５）姫が動かしたサイコロがダッシュ付きかどうかを、 Ｘとする。（ナシ：Ｘ＝０、付き：Ｘ＝１） （６）Ｐ−Ｘの値を計算する。 （但しマイナスになったら２を足して、０か１かにする） （７） Ｍ−Ｄの値：Ｐ−Ｘが０のとき操作するサイコロ、Ｐ−Ｘが１の時操作するサイコロ の順で表にすると以下の通り。 0:0,0’ 1:1,1’ 2:2,2’ 3:3,3’ 4:4,4’ 5:5,5’ 判断する側の計算 （１）代表の小人が操作したあとの状態について【計算Ｍ】を行う その結果がサイコロの番号。 （２）同じく【計算Ｐ】を行う ０ならダッシュ無し。１ならダッシュ付き。 二つの計算結果より、サイコロを一つに決めることができる。
はじめに考えたとき、ふたりの場合、三人の場合、と考えていったので、人数によってはうまく行きそうなのになー、って思ってました。考えたのは少ない方だったので、題意よりそれは無理か、とあきらめて・・・
救出に向かうヒーローはふつうひとり（で、たいてい「あなた」）なのに、なんで５人もいるんだって、ちらっと思ったんですが、まさかわざと捕まるという設定で、何人捕まるかも問題の一部だったとは・・・思いつきませんでした 
あれれ
色々と不自然な設定でしたので、
そこから出題者の意図を推測するという問題でもありました。 囁き内は文字化け？していて判読できない部分がありましたが、 多分あっているでしょう。
答えを発表します。
確実に助かる方法の一例です。 わざと2人捕まり、捕らわれている小人が12人となるようにします。 12個のサイコロに0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11と番号をつけます。 サイコロ番号nに対して、 nを2で割ったときの余りをa(n)、 b(n)= (n-a(n))/2とします。 n=a(n)+2b(n)です。 姫が動かしたサイコロをx番とします。 この時点のn番のサイコロの目をd(n)とします。 代表者の動かすサイコロy番を次のように決定します。 a'=-a(x)+Σa(n)d(n) [n=0,...,11] b'=-b(x)+Σb(n)d(n) [n=0,...,11] を計算します。 a'を2で割ったときの余りをa'',b'を6で割ったときの余りをb''とし、 y=a''+2b''とします。 姫の動かしたサイコロは次のようにして求められます。 代表者がサイコロを動かした後のn番のサイコロの目をc(n)とします。 α'=Σa(n)c(n) [n=0,...,11] β'=Σb(n)c(n) [n=0,...,11] を計算します。 α'を2で割ったときの余りをα'',β'を6で割ったときの余りをβ''とすると、 α''+2β'' が姫の動かしたサイコロの番号です。 (証明) n≠yの場合、c(n)=d(n) n=y,d(n)≠6の場合、c(n)=d(n)-1 なので、 α'=Σa(n)c(n)=Σa(n)d(n)-a(y)d(y)+a(y)c(y)=Σa(n)d(n)+a(y)(c(y)-d(y))=Σa(n)d(n)-a(x)=a' α''=a''です。 n=y,d(n)=6の場合、c(n)=d(n)+5 α'=Σa(n)d(n)+5a(y)=Σa(n)d(n)-a(y)+6a(y)=a'+6a(y) この場合もα''=a''です。 同様に、β'はb'またはb'+6b(y)ですので、β''=b''です。 よって、x=a''+2b''=α''+2β'' (証明終り)
楽しい問題でした。私のNo9を公開していただければ嬉しいです。
あと、囚人が10人固定の場合は、私のNo9（91.4%）がベストだと信じているのですが、あれれ さんは10人の場合のベスト解を考えておいででしょうか？ あれれ さんはとても賢い方なので、たぶん計算しておいでだと思います。ご教示願いたいところです。 また、この問題を10人バージョンで考えた（私もそうだと思ってたのですごい時間を使ってます）他の方とも、ぜひ議論したいところです。
あれれ
No.9他いくつかの囁きを公開しました。
10人の場合は考えていませんし、あまり興味もありません。
あれれ
私も時間がとれたら考えてみるかもしれません。
当分ロックはしないでおきます。
No.9の回答2をじっくり読んでみましたが、分かりにく過ぎますね。
（２）は書き間違いだと思われますが、このままでは（１）に含まれるので明らかにおかしい。 「正解」という言葉が姫の選んだサイコロと、小人たちの答えの2通りで使われている気もします。 代表者がどのように判断し、小人たちはどのサイコロを答えとするのかはっきり書かれていません。そこをなんとか読み取って書いてみましたので、間違いがあればご指摘ください。 ・姫が代表者のサイコロを動かし、その時点での（鍵１，鍵２）が（０，０）の場合 代表者は自分のサイコロの目が奇数ならば自分のサイコロを動かし、 偶数であれば（０，０）のサイコロを動かす ・姫が（０，０）のサイコロを動かし、その時点での（鍵１，鍵２）が（０，０）の場合 代表者は自分のサイコロの目が偶数ならば自分のサイコロを動かし、 奇数であれば（０，０）のサイコロを動かす ・姫が代表者と（０，０）以外のサイコロを動かした場合 代表者は最後の（鍵１，鍵２）が姫の動かしたサイコロのＩＤになるようにどれかのサイコロを動かす。 小人たちは、代表者がサイコロを動かした後の（鍵１，鍵２）を計算して、 ・（鍵１，鍵２）が（０，０）で、代表者のサイコロの目が偶数であれば代表者のサイコロを答えとする ・（鍵１，鍵２）が（０，０）で、代表者のサイコロの目が奇数であれば（０，０）のサイコロを答えとする ・（鍵１，鍵２）が（０，０）でなければ、そのＩＤのサイコロを答えとする
No.9の回答2の趣旨は、
あれれさんがNo.26に書いてくださったものに☆を追加するとＯＫです。 全出現パターンが網羅されています。 「メッセージ伝達」というのは、代表者がサイコロを動かすことで、姫がどのサイコロを動かしたかの情報を「正しく」他の小人たちに伝える、という意味です。 ・姫が代表者のサイコロを動かし、その時点での（鍵１，鍵２）が（０，０）の場合･･･発生確率1/90 代表者は自分のサイコロの目が奇数ならば自分のサイコロを動かし、 偶数であれば（０，０）のサイコロを動かす → メッセージ伝達成功 ☆姫が代表者のサイコロを動かし、その時点での（鍵１，鍵２）が（０，０）でない場合･･･発生確率8/90 代表者は自分のサイコロの目が偶数ならば最後の（鍵１，鍵２）が（０，０）になるようにどれかのサイコロを動かす。 代表者は自分のサイコロの目が奇数ならばメッセージを伝える方法がない→ 失敗確率 全体の4/90 ・姫が（０，０）のサイコロを動かし、その時点での（鍵１，鍵２）が（０，０）の場合･･･発生確率1/90 代表者は自分のサイコロの目が偶数ならば自分のサイコロを動かし、 奇数であれば（０，０）のサイコロを動かす → メッセージ伝達成功 ☆姫が（０，０）のサイコロを動かし、その時点での（鍵１，鍵２）が（０，０）でない場合･･･発生確率8/90 代表者は自分のサイコロの目が奇数偶数ならば最後の（鍵１，鍵２）が（０，０）になるようにどれかのサイコロを動かす。 代表者は自分のサイコロの目が偶数ならばメッセージを伝える方法がない→ 失敗確率 全体の4/90 ・姫が代表者と（０，０）以外のサイコロを動かした場合･･･発生確率8/10 代表者は最後の（鍵１，鍵２）が姫の動かしたサイコロのＩＤになるようにどれかのサイコロを動かす。→ メッセージ伝達成功 小人たちは、代表者がサイコロを動かした後の（鍵１，鍵２）を計算して、 ・（鍵１，鍵２）が（０，０）で、代表者のサイコロの目が偶数であれば代表者のサイコロを答えとする ・（鍵１，鍵２）が（０，０）で、代表者のサイコロの目が奇数であれば（０，０）のサイコロを答えとする ・（鍵１，鍵２）が（０，０）でなければ、そのＩＤのサイコロを答えとする 失敗（代表者がメッセージを伝達できない）確率＝全体の4/45、全体の成功率＝41/45 約91.1%
あれれ
もう書き込みはないかと思っていたら、今頃
私はもうこの問題について考える気はありませんが、 興味のある方はご自由にご投稿ください。 最終投稿から一週間何の書き込みもなかった時点でロックします。 |
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