どうやって説明すればいいのやら…

nの一般式

以外に煩雑

こうでした

参照数がちょっとずつ増えているので考えている人がいるのかも。
ちょっとしたヒントを出しておきます。

n列のときの置き方の総数をA(n)とします。
私はA(n)を直接求めるのは無理そうだと感じましたので、
まずは漸化式を作ろうと思いましたが、それも難しい・・・
そこで、次のような数列B,Cを考え、A,B,Cの3つでできる漸化式を考えました。
・B(n):最後に置くタイルが1列目の2行目となる置き方の総数
・C(n):最後に置くタイルが1列目の3行目となる置き方の総数
漸化式ができれば後は力技の計算でなんとかなるのではないかなと。

近日中に正解発表します。
ちなみに、A(3)=8,A(4)=17,A(5)=38です。

早くから漸化式では解けていたのですが、
一般解では解けなかったので諦めてできたところまでお送りしておきます。

この問題、私が高校生時代（30年以上前）に購読していた
今はなき通信添削「オリオン」に似た問題がありました。
　　（あれれさんの名誉のため申し添えると、同じ問題ではありません）
「オリオン」は受験レベルをはるかに超えた難問揃いで有名で、
当時の私も一般解を示すことができずに漸化式で送った覚えがあります。

それでは答えを発表します。

次のように左3列のマスに名前をつけます。
イニト
ロホチ
ハヘリ
置き方の総数をA(n)とします。
最後に置くタイルがロの位置になる置き方の総数をB(n)とします。
最後に置くタイルがハの位置になる置き方の総数をC(n)とします。
・最初の3枚をイ、ロ、ハに置く場合、
　残りの領域は3行(n-1)列で、4枚目はヘの位置に置くことになるので、
　置き方の総数はA(n-1)に等しくなります。
・最初の3枚をイ、ロ、ホに置く場合
　最後に置く場所はハ、その前はヘ、その前はリの位置になります。
　4枚目、5枚目の場所はニ、トとなります。
　3列目からn列目の領域はトで始まり、リで終わることになります。
　よって置き方の総数はC(n-2)です。
・最初の2枚をイ、ニに置く場合
　ロ、ハまたはハ、ロと続けて置くことになります。
・・ロが最後のマスの場合
　　その前はハ、その前はヘです。
　　2列目からn列目の領域は最初がニ、最後がヘとなりますので
　　置き方の総数はC(n-1)です。
・・ハが最後のマスの場合
　　その前はロ、その前はホです。
　　2列目からn列目の領域は最初がニ、最後がホとなりますので
　　置き方の総数はB(n-1)です。
・・ホが最後のマスの場合
　　その前はロ、その前はハ、その前はヘです。
　　2列目からn列目の領域に注目すると、
　　最初がニ、最後がホ、その前がヘの置き方と一対一に対応します。
　　これは最初がニ、最後がホの置き方と同数ですので、
　　置き方の総数はB(n-1)です。
・・ヘが最後のマスの場合
　　その前はハ、その前はロ、その前はホです。
　　2列目からn列目の領域に注目すると、
　　最初がニ、最後がヘ、その前がホの置き方と一対一に対応します。
　　3列目からn列目の領域において、最初がト、最後がチの置き方になります。
　　置き方の総数はB(n-2)です。
・・ロ、ハ、ホ、ヘがいずれも最後のマスでない場合
　　途中でホ、ロ、ハ、ヘまたはヘ、ハ、ロ、ホの順に置くことになります。
　　2列目からn列目の領域に注目すると、最初がニで、
　　途中でホ、ヘまたはヘ、ホの順に置く置き方と一対一に対応します。
　　これはニで始まる置き方からヘまたはホで終わるものを除いたものです。
　　よって置き方の総数はA(n-1)-B(n-1)-C(n-1)

A(n)=2A(n-1)+B(n-1)+B(n-2)+C(n-2)です。

イニト
ロホチ
ハヘリ
B(n)について
最後がロということはその前はハ、その前はヘです。
2列目の領域に注目すると、ニで始まりヘで終わりますので、
B(n)=C(n-1)です。

C(n)について
最初がイ、最後はハです。
イの次がロの場合、続けてホ、ニ、トの順になります。
3列目からn列目の領域では最初がト、最後がリとなりますので、総数はC(n-2)
イの次がニの場合、ハの前はロ、その前はホです。
2列目からn列目の領域では最初がニ、最後がホとなりますので、総数はB(n-1)
よって、C(n)=C(n-2)+B(n-1)です。
B(n)=C(n-1)でしたので、C(n)=C(n-2)+C(n-2)=2C(n-2)
B(n)=B(n-2)もいえます。
各数列の偶数項のみの部分列、奇数項のみの部分列は公比2の等比数列です。
B(1)=0,C(1)=1より、B(3)=0,C(3)=2
B(2)=C(1)=1,C(2)=B(3)=0
mを2以上の自然数とすると、
B(2m-1)=0,C(2m-1)=2^(m-1)
B(2m)=2^(m-1),C(2m)=0

A(2m-1)=2A(2m-2)+B(2m-2)+B(2m-3)+C(2m-3)=2A(2m-2)+2^(m-2)+2^(m-2)=2A(2m-2)+2^(m-1)
A(2m)=2A(2m-1)+B(2m-1)+B(2m-2)+C(2m-2)=2A(2m-1)+2^(m-2)

従って置き方の総数A(n)は、
A(1)=1
A(2)=3
A(2m-1)=2A(2m-2)+2^(m-1)
A(2m)=2A(2m-1)+2^(m-2)
と計算できます。
A(2m-1)=2A(2m-2)+2^(m-1)=2(2A(2m-3)+2*2^(m-2))+2^(m-1)
代入を繰り返すと、A(2m-1)は2^(m-3)*A(2)と2の冪の和になります。
2の冪については、奇数の項目、偶数の項目はそれぞれ等比数列になっています。
A(3)からA(2m-1)までの奇数の項目の個数は
(2m-1-3)/2+1=m-1
奇数の項の2の冪の合計は
初項2^(m-1)、公比2、項目数(m-1)の等比数列の合計
2^(m-1)*(2^(m-1)-1)=2^(2m-2)-2^(m-1)
A(4)からA(2m-2)までの奇数の項目の個数は
(2m-2-4)/2+1=m-2
偶数の項の2の冪の合計は
初項2^(m-2)、公比2、項目数(m-2)の等比数列の合計
2^(m-2)*(2^(m-2)-1)=2^(2m-4)-2^(m-2)

以上より
A(2m-1)=2^(2m-2)-2^(m-1)+3*2^(2m-3)+2^(2m-4)-2^(m-2)=11*2^(2m-4)-3*2^(m-2)
A(2m)=2(11*2^(2m-4)-3*2^(m-2))+2^(m-2)=11*2^(2m-3)-5*2^(m-2)

答えは、
nが奇数の場合は、11*2^(n-3)-3*2^((n-3)/2)
nが偶数の場合は、11*2^(n-3)-5*2^((n-4)/2)
です。
これをまとめて一つの式にすることも可能ではあります。

11*2^(n-3)-3(1-(-1)^n)*2^((n-5)/2)-5(1+(-1)^n)*2^((n-6)/2)
等とすればよいです。