x^3＋x^2＋x＋1＝0　において　x＝1　は解ではなく、両辺に(x−1)をかけて
x^4−1＝0　つまり、x^4＝1　となり、x^2015＝x^3　が導かれる

したがって、
　　α^2015＋β^2015＋γ^2015＝α^3＋β＾3＋γ^3
となるので、α^3＋β＾3＋γ^3の値を求めればよい

３次方程式の解と係数の関係より
　　α＋β＋γ＝−1, αβ＋βγ＋γα＝1, αβγ＝−1
であるから
　　α^3＋β^3＋γ^3
　＝（α＋β＋γ）^3−3（α＋β＋γ）（αβ＋βγ＋γα）＋3αβγ
　＝（−1）^3−3×（−1）×1＋3×（−1）
　＝−1
となる

答：　-１<br><br>x^3＋x^2＋x＋1＝(x+1)(x^2＋1)=0 <br>解は　-1 or i or -i なので、<br>α=i、β=-i、γ=-1とする。<br><br>α^2015=α^2014*α=-i<br>β^2015=β^2014*β=i<br>γ^2015=-1<br>α^2015+β^2015+γ^2015=-1

x^3+x^2+x+1=(x+1)(x^2+1)
↓
（α,β,γ）=(-1,i,-i)(順不同)
よって、
α^2015+β^2015+γ^2015
=(-1)^(2*1007+1)+i^(4*503+3)+(-i)^(4*503+3)
=-1-i+i
=-1

x^3＋x^2＋x＋1＝(x+1)(x^2+1)
であり、α^2015＋β^2015＋γ^2015 は対称式なので
x^3＋x^2＋x＋1＝0　の解を　α＝-1, β＝i, γ＝-i　と決めてよい
代入すると　α^2015＋β^2015＋γ^2015＝−1

(x^n -1)/(x - 1)=Σx^m=0 から、
すべての解α、β、γ…について
α^n = 1 であることを使うのが
本解だと想像します。

解は-1,i,-i
(-1)^2015+i^2015+(-i)^2015=-1-i+i=-1
別解だと思いますが

2015個ある解の任意のひとつをαとすると、
　α^2015=-(α+1)
求める和=　-全ての解の和-2015　
全ての解の和=0　（与式の x^2014 の項がゼロなので）
答：-2015

求める積＝(全ての解2015個の積)＾2015
解と係数の関係から、
全ての解2015個の積＝−1なので　
答：−1

答え→-1

-1

x^3+x^2+x+1=0　左辺を因数分解して
(x+1)(X^2+1)=0 より　x=-1,±i （iは虚数単位）
これらを α,β,γ にそれぞれ代入して
(-1)^2015+i^2015+(-i)^2015
= -1+(-1)^1007(i-i)=-1　よって　-1