参加型ナゾトキサイト『クイズ大陸』で、脳トレをどうぞ！

FAQ

RSS
@quiz_tairikuさんをフォロー

数珠繋ぎの円

難易度：★★★ 　

ゆりあ 2014/12/25 19:11

問1
三つの円A, B, Cが互いに接するとき、真ん中にできる領域の面積を求めよ
半径はすべて1とする

問2
四つの円A, B, C, Dがあり、半径はすべて1である
AはBに、BはCに、CはDに、DはAに接している
このとき、真ん中にできる領域の面積が最大になる条件とその時の面積を求めよ
なお、AとC, BとDは接していなくてもよい（接していてもよい）

問3
26個の半径1の円盤A, B, C, ・・・, Zがあり、数珠繋ぎになっている
(すなわち、AとB、BとC、・・・、YとZ、およびZとAは接している)
このとき、真ん中にできる領域の面積が最大になる条件とその時の面積を求めよ
また、最小になる条件とその時の面積を求めよ
ただし、円盤はすべて、境界線を除き重ならないものとする




	【問1 　√3-π/2 問2 　面積:4-π 　条件:四角形ABCDが正方形問3 【最大】　面積:13/(2tan(π/26)) - 12π 　条件:各円の中心点A, B, C, ･･･, Zを結んでできる図形が正二十六角形【最小】　面積:24√3-12π 　条件:円の中心点A, B, C, ･･･, Zを結んでできる図形が　　　　辺の長さが1, 12　鋭角が60度の平行四辺形】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

ヒミツ

たっくん４ 2014/12/26 10:22

取り急ぎ問１と問２のみ提出。
問３は一番上の一般式がそのまま解だとは想像しているのですが (^_^)

例によってちょっと一休み (^^;)

。

ゆりあ正解です (^^)

問３も大体そんな感じですね、
最小の方はもちろん別ですが

▲ △ ▽ ▼ No.2

ヒミツ

ぼやき餅 2014/12/26 19:41

とりあえず、問2までです。
もしかして、「面積が最大になる条件」は証明が必要か!? (・o・∥)

ゆりあ正解です (^^)

円がN個だったとしても最大の証明は簡単なので、特になくても大丈夫です

▲ △ ▽ ▼ No.3

ヒミツ

I.T 2014/12/26 20:43

証明不要ならば……
たぶん最小はこういうことではないかもしれませんが (^^;)

ゆりあ ①②は正解です

後から付け足したような問題なので、他の条件は書いてませんでしたし、それでもいいんですが、
「円(盤)はすべて、境界線を除き重ならないものとする」
とさせて頂きます。

▲ △ ▽ ▼ No.4

ヒミツ

I.T 2014/12/27 10:58

では最小はこんな感じでしょうか

ゆりあ正解です (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.5

ヒミツ

たっくん４ 2014/12/27 11:52

問３を遅れて提出します。
最初に一般解を出してるので単に２６を埋めるだけなのですが (^^;)

最大最小の証明はお言葉に甘えてなしで (^o^)

ゆりあ正解です (^^)

最大の証明は簡単なんですが
最小がそれになる数学的な説明が思い付かなくてですね
証明は不要にしてます(笑)

▲ △ ▽ ▼ No.6

1.√3-π/2
2.面積:4-π
条件:四角形ABCDが正方形
3.(最大)面積:13/(2tan(π/26)) - 12π
条件:ABC…Zが正二十六角形
(最小)面積:24√3-12π
条件:ABC…Zが1,12を辺に持ち鋭角が60゜の平行四辺形

Nighteck 2015/01/02 18:11

これで

ゆりあ正解です (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.7

Nighteck 2015/01/04 18:58

差支えなければ、円がN個だったときの面積最大の簡単な証明を教えていただきたいです。

「辺の長さが一定の3辺が等しい四角形のうち、面積が最大なのは等脚台形である」ことを示せれば良いとは思いましたが、その証明もできなくはないですが煩雑なものになると思いました。

多角形の等周問題からこの問題(多角形の全辺が等しい)にはすぐ持っていけるので、ほぼ等周問題と同じと見てよいとは思うのですが。
最大が正多角形であるのを示すので、円盤の重なり(内角が60°以上)を気にする必要もないですし。

ゆりあ隣接する円の中心点同士を結んでできるＮ角形（角が180°になる場合も含む）
その内部にある数珠（角が60°～300°の扇形）の面積の総和が一定である
という証明は、内角の和が一定である証明とほぼ同じなので、省略します。

よって、この問題は、おっしゃるように、以下の多角形の等周問題と同じです。
「周の長さが一定な多角形のうち、面積が最大なものは正多角形である」

今回の場合、周の長さがＮ＝２６、辺の長さが自然数であるとき、面積が最大になる条件は（どんな多角形か）？　という問題ともいえます。

私が簡単といったのは、「Ｎ角形の面積が最大＝正Ｎ角形」を自明として扱う前提
（ゆえにこのことを知っている皆さんもお答えになっているのだと思っています）
なので、多角形の等周問題自体の証明は難しいです

大学生向けの証明はあるでしょうけど、誰にでもわかるような（高校生向けの）証明があるか、ちょっと探してみます

このクイズのヒント

ヒント知らないよ

このクイズの参加者（4人）

ジャンル・キーワード

携帯用ページ

携帯電話のQRコード読み取り機能でこのページを見られます。

広告お買い物は下記のリンクからどうぞ

楽天市場はこちらから
Amazonはこちらから

広告
クイズ大陸関連書籍