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算数・数学クイズ
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 不規則な数列
難易度：★★★★★
 りむじん
2014/12/20 14:28
2,3,4,8,9,16,27,32,64,81,128,243,… 東京大学の予想問題で見た問題の改変です。 私は数学の問題の中でも、 ・問題設定が簡単シンプルで分かりやすく ・いざ解こうとすると何をすればよいかが難しく ・発想の転換をすれば簡単に答えが出せる 性格の問題が好きです。 ごちゃごちゃした問題設定にごちゃごちゃした計算をさせて、 ごちゃごちゃした答えが出てくるような問題は解けても達成感がありません。 そういう意味では、「tan1゜は有理数か。(2006京都大)」のような問題が好きです。
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回答募集は終了しました。
りむじん
違います
 できれば計算過程をお願いします 
2,3,2,2,3 だいたいこの形で回るだろうと<br><br>計算方法は分かりませんが<br>logをとって確かめると3^39ですね
↑要するに当てずっぽうです
りむじん
確かにそう考えてしまう(そうであってほしい
 )のは分かりますが２５番目まで考えるとあっさり反例が出てきます  >計算方法は分かりませんが >logをとって確かめると○○○○ですね えっどうやって確かめたのですか？ 
2^60=8^20
3^40=9^20 より2^60<3^40 2^61-3^40=8^20-(9^20-8^20) =8^20-(9^19+8・9^18+…+8^19) <8^20-20×8^19<0 よって2^61<3^40 3(2^60-3^39)=3×8^20-9^20 =2×8^20-(9^20-8^20) =2×8^20-(9^19+8×9^18+…+8^19) <2×8^20-20×8^19<0 よって2^60<3^39 2^4×(2^61-3^39)=32^13-16×27^13>0 よって 3^39<2^61 100番目は2^61
スマートな解法を思いつく前にゴリ押しでゴールしてしまう
りむじん
最後の不等式が間違っています
１００番目は３の４０乗。
１０番単位で２の乗数と３の乗数の振り分けが３：２になると思うので、（１００/５）＊２で乗数の４０．
直感でやりましたので、あまり自信はないです。
りむじん
1412さんと同じ考え方ですね
その規則性が証明できれば話は早いのですがなにしろ100番目はその答えではないのですから…
32^13-16×27^13
=16(32^13-27^13)-15×32^13 <16×13×32^12-15×32×32^12<0 よって2^61<3^39
何を思って明らかだと感じたのだろう
りむじん
２行目から３行目への変換で何が起きたのか私には理解できない
式は合っていると思うのですが結局のところの100番目の数を答えて下さい  先ほどとは異なるはずです
とりあえずこのやり方で。log2, log3の数値が明らかでない場合は後ほど回答します。
以下では、常用対数表を用いて計算した。 log2＝0.3010 log3＝0.4771 自然数m,nに対して3^(m+1)＞2^n＞3^mであるとき 1.585(m+1)＞n＞1.585m m＝38のとき、これを満たすnはn＝61だけなので、与えられた数列の100番目は3^39 ------------------------------------------------ tan1゜は有利数と仮定 三角関数の加法定理より tan2゜は有理数 同様に tan3゜は有理数 以下同様にして、tan30゜は有理数 tan30゜＝1/√3なので、矛盾。つまりtan1゜は無理数
似たように2と3に関わる数列で
1, 2, 3, 4, 6, 9, 8, 12, 18, 27, 16,･･･ というのがあります。 
りむじん
模範解答とは少し違いますが、方針は同じなので正解とします
 入試でこれを書いてもじゅうぶん丸をもらえると思うので 少し違うというのは、「m＝38のとき、」としていますが いきなり38という数を持ってくるのはどうなのかなと。 100番目付近で現れる数はだいたいこのぐらいであろう、 だいたいこれくらいの数の大小関係を調べればよいのであろう、 という予想や見当を恐らく立てて得られたものだと思いますが、 模範解答ではそういった「だいたいこのぐらい」という予想や見当を抜きに 直接100番目が求められるようになっています。 ぜひ余力があれば、よりスマートな模範解答を考えてみて下さい  tan1゜までありがとうございます もちろん正解です
りむじん
ゴリ押しで正解です
もちろん論理的には正しいので まぁこれぐらいの計算量なら試験時間にも間に合いそうですしね
数列を更に書き並べていくと、
・2^19(=524,288) ＜ 3^12(=531,441) ・3^17(=129,140,163) ＜ 2^27(=134,217,728) であるから、2^(19/12) ＜ 3 ＜ 2^(27/17) 各辺を39乗すると 2^(61+3/4) ＜ 3^39 ＜ 2^(61+16/17)となるので、3^39は2^61よりも大きく、2^62よりも小さい。 数列で3^39よりも前にある2の冪である項は61項、3の冪である項は38項存在するので、 3^39は61+38+1 = 100番目の項である。
関数電卓の持ち込みはダメですよね？
りむじん
もちろんダメです
3^17(=129,140,163) ＜ 2^27(=134,217,728) こんな計算素手でしたくないですが ただし、ある程度のlogの値は与えられているとします 
m,nを自然数とする。もし3^m＜2^nならば、<br>2の冪の中で2^nはn番目、3の冪の中で3^mはm番目なので、<br>与えられた数列の中で、2^nは(m+n)番目以降、3^mは(m+n-1)番目以前<br>同様に2^n＜3^mならば、3^mは(m+n)番目以降、2^nは(m+n-1)番目以前<br><br><br>3^5＝243、2^8＝256 より 3^5＜2^8 ･･･ ① であり、<br>13×7＜100＜13×8なので、①の両辺をk乗（7＜k＜8）することを考える。<br><br>61/8乗して（3^38＜）3^38.125＜2^61 (1)2^61は99番目以降の数<br>62/8乗して（3^38＜）3^38.75＜2^62 (2)2^62は100番目以降の数<br><br>39/5乗して 3^39＜2^62.4（＜2^63） (3)3^39は101番目以前の数<br><br><br>2^11＝2048、3^7＝2187 より 2^11＜3^7 ･･･ ② であり、<br>18×5＜100＜18×6なので、②の両辺をk乗（5＜k＜6）することを考える。<br><br>39/7乗して（2^61＜）2^61.29＜3^38 (4)3^39は99番目以降の数<br><br>62/11乗して 2^62＜3^39.46（＜3^40） (5)2^62は101番目以前の数<br>61/11乗して 2^61＜3^38.82（＜3^39） (6)2^61は99番目以前の数<br><br><br>(1)(6)より99番目の数は2^61 (2)(3)(4)(5)より100,101番目の数は2^62と2^39のどちらか<br><br><br>ここで、log2＝0.3010 log3＝0.4771 なので 62log2－39log3＝0.0551＞0<br><br> ⇒ 3^39＜2^62<br><br>よって、100番目の数は3^39乗である。<br><br><br><br>①、②に関しては、ある程度（無理のない4桁まで）べき乗を求めて<br>比較的割合が小さくなるものを選んだだけです。
スマートな解き方ではないですが。このやり方だと最後の2数の比較がどうしても必要で、
logの値が与えられてない場合の決定が思いつきませんでした （追記）すみません、一部不足があったので消しました。ご迷惑おかけしました あと、(4)の左の数字が8になってるので、9が正しいです。 ↓↓本当、考えてみたら余分だ 
りむじん
そうですか、長文だったので心配しました
m,nを自然数とする。もし3^m＜2^nならば、
2の冪の中で2^nはn番目、3の冪の中で3^mはm番目なので、 与えられた数列の中で、2^nは(m+n)番目以降、3^mは(m+n-1)番目以前 同様に2^n＜3^mならば、3^mは(m+n)番目以降、2^nは(m+n-1)番目以前 3^5＝243、2^8＝256 より 3^5＜2^8 ･･･ ① であり、 13×7＜100＜13×8なので、①の両辺をk乗（7＜k＜8）することを考える。 61/8乗して（3^38＜）3^38.125＜2^61 (1)2^61は99番目以降の数 62/8乗して（3^38＜）3^38.75＜2^62 (2)2^62は100番目以降の数 39/5乗して 3^39＜2^62.4（＜2^63） (3)3^39は101番目以前の数 2^11＝2048、3^7＝2187 より 2^11＜3^7 ･･･ ② であり、 18×5＜100＜18×6なので、②の両辺をk乗（5＜k＜6）することを考える。 39/7乗して（2^61＜）2^61.29＜3^38 (4)3^39は99番目以降の数 62/11乗して 2^62＜3^39.46（＜3^40） (5)2^62は101番目以前の数 61/11乗して 2^61＜3^38.82（＜3^39） (6)2^61は99番目以前の数 (1)(6)より99番目の数は2^61 (2)(3)(4)(5)より100,101番目の数は2^62と2^39のどちらか ここで、log2＝0.3010 log3＝0.4771 なので 62log2－39log3＝0.0551＞0 ⇒ 3^39＜2^62 よって、100番目の数は3^39乗である。 ①、②に関しては、ある程度（無理のない4桁まで）べき乗を求めて 比較的割合が小さくなるものを選んだだけです。
と、追記してしまうと改行が<br>になるのは直してほしいところですね。
気になるので、連投ですみませんがまったく同じ内容です。
りむじん
(2)(3)(4)(5)は要らない気がします
(1)(6)の不等式だけで100番目の数が２択になるので
解法１： 実際に暗算で。
2^3 < 3^2 なので、 2^60 < 3^40 2^60は100番目より小さく、 3^40は100番目であるか、あるいはそれより大きい。 2^10=1024から、2^(10/3) > 10 3.3:2 2^8=256 > 3^5=243 なので、 2^64 > 3^40 (a)両辺を8で割って 2^61 > 3^40/8 > 3^38 3^38は99番目より小さい。 2^61は99番目であるか、あるいはそれより大きい。 以上から、 100番目が 3^nであるとすれば、3^39,40 のいずれかである。 100番目が 2^nであるとすれば、2^61,62 のいずれかである。 ここからカンで解くなら、前者よりも後者のほうが精度が高いので、 2^61 = ほとんど3^38とすれば 98番目が3^38、99番目が2^61、100番目は3^39か2^62かのどちらか。 解法２： ここから指数電卓を持ってきた。 2=3^m となるm=log2/log3= 約0.631 100/(1+m)=約61.3 61m= 約38.9 2^62>3^39>2^61>>>3^38 答 3^39
暗算で理論的に４つに答えを絞り、たぶんこの２つだろうなぁと当たりをつけて、最後の最後に一回だけ指数電卓を叩きました。上記はまったく数学の回答ではありませんが、私はこういう学生が大好きです
りむじん
私が数学で苦手なのは不等式においてよりよい近似をすることでよりよい評価をすることです
 結局最後の不等式を導けばよいというのは他の皆さんと同じですね その導き方が皆さん人それぞれで面白いです
１００番目はの３の３９乗。<br>与えられていない常用対数を勝手に使いました。LOG２＝０．３０１ LOG3＝０．４７７を使いました。<br>自分で分かりやすいように１０倍すると、３．０１と４．７７になり、これは２と３の乗数の出現が３．０１個対４．７７個を意味するとし、<br>（１００/（３．０１＋４．７７））＊４．７７＝６１．３←１００までの２の乗数の出現数。<br>少数がややこしいから少数を落とし６１とし、６１＊３．０１＝１８３．６１<br>１８３．６１/４．７７＝３８．５<br>３８＊４．７７＝１８１．２６<br>２の６１乗と３の３８乗でどちらかが９９番目になります。<br>６２＊３．０１＝１８６．６２ ３９＊４．７７＝１８６．０３<br>答えを比較して次にくるのは、答えの低い３の３９乗のほう。<br>
再挑戦です。
２と３の競争を比較するのがややこしいですね。 相手に伝えるのは難しいですね。
りむじん
２と３の競争、いい表現ですね
 この問題で「改変」としているのは、 実は元の問題ではある対数が与えられているのです その対数をどう使うかがヒントになり得るので、今回は伏せてみました 実際の試験であれば対数が与えられていないと無理だと思います
tan1゜は有理数でない。
仮にtan1゜が有理数ならば、正接の2倍角の公式により、 tan2゜、tan4゜、tan8゜・・・tan64゜ は全て有理数となる。･･･① この時、加法定理から、 tan64゜＝tan(60゜－4゜)＝(tan4゜とtan60゜を用いた多項式) となるので、 tan60゜＝(tan64゜とtan4゜を用いた多項式) となり、tan60゜は有理数とわかる。(①より)･･･② ところで、tan60゜＝√3 なので、tan60゜は無理数であるが、これは②に矛盾する。 よって、tan1゜は有理数でない。
なんと、初期条件(対数)が伏せられているとは
どうりで解法が思いつかないわけだ 解答公開まで粘ろうかなぁ･･･ コメントするだけというのもアレなので、京都大のほうを。
りむじん
まぁ、そんなレベルの問題の解法をたった十数分で考えなければいけないのが
東大志望者たちなんでしょうけどね… ちなみに私は解けなかったので、早々に模範解答を見ました 京都大の方はしっかり正解です
logは常用対数とする
与えられた数列の1番目から100番目までの和をSとすると，自然数n，mを用いて S=Σ[k=1,n]2^n+Σ[k=1,m]3^m =2^(n+1)+(1/2)*3^(m+1)-7/2 (n+m=100) m+n=100なのでm=100-n よってS=2^(n+1)+(1/2)*3^(101-n)-7/2 2の累乗数と3の累乗数を小さい順に並べているので，nはSが最小となる値である nを1≦n≦100の実数として考え f(n)=2S=2^(n+2)+3^(101-n)-7 とおくと，f(n)が最小のときSも最小 f'(n)=(ln2)*2^(n+2)-(ln3)*3^(101-n) f'(n)=0となるnをtとおくと f(n)は1≦n≦tで単調減少，t≦n≦100で単調増加なので，f(n)はn=tで最小 f'(n)=0のとき (ln2)*2^(n+2)=(ln3)*3^(101-n) ⇔n=(101*log3-2*log2)/(log2+log3) log2=0.3010, log3=0.4771 とおくと n≒61.16 よって自然数の範囲において，Sはn=61で最小となる 以上より，100番目の数字は2^61と3^39のうち大きい方 常用対数をとると log2^61=18.3610 log3^39=18.6069 底は10＞1なので2^61＜3^39 したがって100番目に現れる数は 3^39
このやり方だとどうしてもlogの値を使うことになる......
りむじん
名前がほぼ同じなのでびっくりしました
和からnの関数にもっていった方は初めてです 私の言うような予想や見当のない解き方ですね ただ、 >n≒61.16 >よって自然数の範囲において，Sはn=61で最小となる これはこれだけでは言い切れないのではないでしょうか 下に凸ではありますが二次関数のグラフではないので、 頂点が61.16だとしてもその隣の61と62のどちらが小さいかは 実際に比べないと分からないはずです
0.477<log3<0.478<br>0.301<log2<0.302<br><br>mlog2<nlog3<(m+1)log2<br>m+n=100<br>0.302m<0.477(100-m)<br>0.779m<47.7<br>0.478(100-m)<0.301m+0.301<br>47.8-0.301<0.779m<br>47.499<0.779m<br>60.97<m<61.2<br>m=61,n=39<br>100番目は3^39<br><br>もし61<m<62のようになり、mが存在しなければ、m=61+α,n=39-αのとき成立するため、2^61が100番目とすぐわかるようになってます。
logを使ってみました
どこまで与えられるかによって精度が左右されてしまいますが…… 一番最後61と62を間違えてますね、確認したつもりだったのですが
りむじん
模範解答の通りです！
 まぁ、普通の入試ならlogは有効数字4桁ぐらいですかね 不等式で挟んだ方が正確ですが
題意より、自然数nに対して、2^(100－n)＜3^n＜2^(101－n)…①
または3^(100－n)＜2^n＜3^(101－n)…②となればよい。 2^11＝2048＜3^7＝2187、2^27＝134217728＞3^17＝129140163より 11/7＜log[2]3＜27/17 17/44＜1/(1＋log[2]3)＜7/18が得られるので、③より 1700/44＜n＜707/18 38＜1700/44＜39＜707/18＜40なのでn＝39 同様に11/18＜1/(1＋log[3]2)＜27/44が得られるので、④より 1100/18＜n＜2727/44 61＜1100/18＜2727/44＜62なので、④を満たす自然数nは存在しない。 以上により、3^39が100番目に現れる数字である。
こういう問題でlogの概数を使うのは、精度が十分かどうかに言及する必要があるため難しいですね。
結局無理やり不等式で評価しました。本当はもう少し簡単な数で挟みたかったのですが・・・
りむじん
模範解答と同じ方程式です！これを答えて欲しかった
高校数学で与えられるlogの値はだいたい小数点以下４桁ですね もちろん不等式で挟んで与えてくる嫌らしいところもありますが、少なくとも東大ではあまり見たことはありません
与えられた数列の100項目までに現れる，最大の2の累乗数と3の累乗数をそれぞれ2^n，3^m (m,n:自然数，m+n=100)とすると
m+n=100よりm=100-n 小さい順に並べているので100項目は2^nか3^(100-n) Ⅰ)100項目が2^nのとき 3^(100-n)＜2^n＜3^(101-n) が成立 各辺常用対数(10＞1)をとると log2=0.3010，log3=0.4771として 47.71＜0.7781n＜48.1871 ⇔61＜61.31･･･＜n＜61.92･･･＜62 nは自然数なので不適 Ⅱ)100項目が3^(100-n)のとき 2^n＜3^(100-n)＜2^(n+1) が成立 Ⅰ)のときと同様に各辺常用対数をとると 47.4090＜0.7781n＜47.71 ⇔60＜60.92･･･＜n＜61.31･･･＜62 よってn=61 Ⅰ)Ⅱ)より100項目の数は3^39
こっちの方がスマート，だがlogの値は使ってしまう
りむじん
完全に模範解答の通りです
スマートですよね logを使わなくても方程式は解けるのでしょうか？ いや、むしろlogを使った方がスマートだと思いますね 大きな数字や小さな数字をスマートに見積もるためにlogはあるようなものなので…
答え：3の39乗
この数列を、全て２を底にした対数を取って考えると、 （項間の大小関係は変わらないので、順番は入れ替わらない） 1,log3,2,3,2log3,… となる（ここでlogの底は２） 対数を取って新たに出来た数列は、 ２の累乗の系列：1,2,3,4,5,… と、 ３の累乗の系列：log3,2log3,3log3,… を、混在させ、小さい方から並べたものである。 ｎ番目のｎが十分大きい場合、 初項の比1:log3の逆比が、登場する項数の比になる。 log3≒1.585 100*1.585/(1.585+1)≒0.613 100*1/(1.585+1)≒0.387 であるから、１００項のうち、 ２の系列が６１個 ３の系列が３９個 あたりになりそうだと、予想が出来る。 実際に確かめてみると、 ２の系列は、対数にしたままで表示すると、 60:60 61:61 ３の系列は、 38:約60.23 39:約61.82 となり、 小さい順に並べていくと、全体では、 98項目 対数で60.23 真数で3^38 99項目 対数で61 真数で2^61 100項目 対数で61.82 真数で3^39 101項目 対数で62 真数で2^62 となる。 3^39は、スゴイ桁数になって電卓が対数表示に なってしまったので、答えはこのままで良いですか？
スゴイ桁数になって電卓が対数表示に
なってしまったので 、答えはこのままで良いですか？
りむじん
そりゃ普通に10桁を超えるので○の○乗で答える方がいいでしょう
そのままの数を書いて答えても自分も採点官も大変ですから
それでは解答です。
実際の問題では、 log23=1.5849 log32=0.6309 が与えられていました。 100番目はもちろん2nか3nかのどちらかです。 実際に100番目の前後にくる数をそのまま計算するなら、 261<339<262 を最低限示せば339が100番目である根拠になります。 だいたいの方はこの大小関係をどうにかして証明するという方針でしたね。 もちろんこの式自体はlogで簡単に示せるのですが。 要するに 「恐らく100番目は260や340あたりではないか？ ならそのあたりの数の大小関係を調べればいいか」 というやり方は普通に良いと思うのですが、 もしその予想が外れていたときや、1000番目や10000番目を求めるときには 比較の回数が多くなり大変になる可能性があると思うのです。 それに比べてこの模範解答のやり方は２通りの不等式を解くだけですので、 大きな遠回りをしてしまう危険性が無いのが素晴らしいと思いました。 ちなみに1000番目は3387、10000番目は26132であり、 これらも簡単に求められます。 シンプルな問題にはスマートな解答で対応したいものですね |
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