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倍数となる確率は？
難易度：★★★★ 　
?たっくん４ 2014/12/18 10:46
nを自然数（０でない正の整数）とする。
n桁の自然数のうちで、各桁の数字全てが１〜５のいずれかである
（＝６〜９および０を含まない）組み合わせの個数をＡ(n)、
　その中でmの倍数となる組み合わせの個数をＢm(n)とおき、
　Ｐm(n)=　Ｂm(n)/Ａ(n)とする。

問：　(1)-(4)を求めよ（nで表せ）
(1) 　　Ｐ5(n)
(2) 　　Ｐ8(n)
(3) 　　Ｐ11(4)
(4) 　　Ｐ3(n)

一部のみの回答も歓迎します。
全部ではありませんが、「かってに君」も準備してます。半角数字（既約分数）でどうぞ。
　(4)を、Ｐ6(n)からＰ3(n)に変更します。大変申し訳ありません。　
　　12/18　15:00修正　
Answer【(1)Ｐ5(n)=　1/5, 下一桁が５であるもの

(2)Ｐ8(n)=0(n=1),2/25(n=2),13/125(n≧3)
百の位が偶数の場合:下二桁が24か32
百の位が奇数の場合:下二桁が12か44か52

(3) Ｐ11(4)=　17/125
　1桁目＋3桁目＝2桁目＋4桁目±11L の組み合わせが該当する。本問ではL=0のみ。
　2 or10となる組み合わせ １通り
　3 or 9となる組み合わせ ２通り
　4 or 8となる組み合わせ ３通り
　5 or 7となる組み合わせ ４通り
　6 となる組み合わせ　５通り
　5^2+(4^2+3^2+2^2+1^2）*2＝85通り　
85/5^4 = 17/125

(4)Ｐ3(n)= 2/3*(-1/5)^n + 1/3　
ある整数が３の倍数のとき、10倍して最後に１−５を足すと３の倍数になるのは３を足したときだけ。
逆に、ある整数が３の倍数でないとき、10倍して最後の桁に１−５を足すと３の倍数になる組み合わせが必ず２つ存在する。
　以上を漸化式で表すと　Ｂ3(n+1)=Ｂ3(n)*1/5+（Ａ(n)−Ｂ3(n)）*2/5
Ｐで表わせば　Ｐ3(n+1)=Ｐ3(n)）*1/5 + （１−Ｐ3(n)）*2/5　= 2/5 - Ｐ3(n)/5
上記漸化式にP3(1)=1/5 を当てはめて　一般解は　Ｐ3(n)= 2/3*(-1/5)^n +1/3　
】
正解画像解答判定ワード【1/5】or 【13/125】or 【17/125】
正解画像特殊解その２です。 【2/25】
正解画像特殊解その１です。 0
■
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