「n本とn回」の時の一般解はまだ分からない。

日能研の問題は私も見ました（娘の学校の出題･･･）。これは面白い改変ですね。一番多いのがコレであることは絶対確実

もっと楽に解く方法があるのかな。

↓いえ、最初に奇数を全て排除して考えてるのでそう見えるだけです。ちゃんと6回で1回転として考えていますよ(4回で1回転ならEは出現しないです)。記述は全て合っていると思うのですが。

↓↓問題を勘違いしてました。ごめんなさい。

これでなんとか

一応やってみましたが、あまり自信はないです。
追加
問題文をよく読んでないせいか勘違いしてるかもしれないのですが、操作２で半数がDになるということでよろしいでしょうか。

ごりごり

一部訂正

鉛筆の本数と手順数が限りなく多かったらこうなる。

たとえば、100番の鉛筆について考えると、
100は 2×2×5×5 なので 1,2,4,5,10,20,25,50,100の倍数 である。
そして、各約数kについて操作kでk/6回転し、最終的にその合計分だけ回転して終わる。
言い換えれば「n番の鉛筆は [nの約数の総和]×1/6回転する」であり、この文章題は

★「1〜100の自然数において、約数の総和を6で割ったときの余りで一番多いものはどれか」★

という問題に等しい。（0⇒A, 1⇒B, 2⇒C, 3⇒D, 4⇒E, 5⇒F）

　以下では「pは6で割ってr余る数」ということを合同式「p ≡ r mod 6」で表す。
　合同式は、整数についての四則演算が可能であるという性質を持つ。
　　（例）9 ≡ 3 mod 6, 11 ≡ 5 mod 6 において
　　　　　　　和　：　9＋11 ≡ 3＋5 ≡ 8 ≡ 2 mod 6
　　　　　　　積　：　9×11 ≡ 3×5 ≡ 15 ≡ 3 mod 6
不慣れな人は都度確認することをお勧めする。

------------------------------------------------------------------------------

自然数nの「素因数分解」とは「素数の累乗の積」として表すことである。
すなわち、p₁, p₂, p₃･･･ を素数、それらの累乗数を順に a₁, a₂, a₃･･･ とすると、

　　n ＝ p₁^a₁ × p₂^a₂ × p₃^a₃ × ･･･ × p_k^a_k × ･･･

と表される。また、その約数の総和σ(n)は「『素因数の0乗から累乗数乗まで和』の積」であり

　　σ(n) ＝ ( p₁⁰＋p₁¹＋p₁²＋･･･＋p₁^a₁ )×(p₂⁰＋p₂¹＋p₂²＋･･･＋p₂^a₂ )× ･･･

と表される。

------------------------------------------------------------------------------

さて、6の倍数にどんな整数をかけても6の倍数であり、6で割ったときの余りは0であるから
「σ(n)≡ 0 mod 6」になるようなnに対して目星をつけて考える。

素数pに対して「p ≡ 5 mod 6」のとき
　　　　p^奇数 ≡ 5 mod 6,　p^偶数 ≡ 1 mod 6
なので、aが奇数のとき　σ(p^a)≡ 0 mod 6　である。
すなわち、aが奇数、nがp^aの倍数であり、p^a+1の倍数でないならば　σ(n)≡ 0 mod 6　となる

(1) p ≡ 5 mod 6 を満たす素数p（3乗以上は最低でも100を超えるので1乗だけを考える）
　5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89 （12個）

(2) (1)を満たすpに対して、pの倍数となるn（ (1)の数, 25, 50, 75, 100を除く）
【5の倍数】10, 15, 20, 30, 35, 40, 45, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 90, 95（15個）
【11の倍数】22, 33, 44, 66, 77, 88, 99（7個）
【17の倍数】34, 51, 68（3個）
【23の倍数】46, 69, 92（3個）
【29の倍数】58, 87（2個）
【41の倍数】82（1個）
【47の倍数】94（1個）

------------------------------------------------------------------------------

次に、素数pに対して「p ≡ 2 mod 6」 の場合（これを満たすのはp＝2のみ）
　　　　p^奇数 ≡ 2 mod 6, p^偶数 ≡ 4 mod 6
なので、aが奇数のとき　σ(p^a) ≡ 3 mod 6　である。

また、3以上の素数pに対して、aが奇数のとき
　　σ(p^a)は奇数の偶数回の和、すなわち偶数なので、6で割った余りは0, 2, 4のいずれか。
したがって、
　　　　n ＝ [2^奇数 × (3以上の素数)^奇数] の倍数
とおけば、σ(n)≡ 0 mod 6

　(1)を除く100までの素数 3, 7, 13, 19, 31, 37, 43, 61, 67, 73, 79, 97　を考えればよい。

(3) [2^奇数 × (3以上の素数)^奇数] の倍数
【2×素数】6, 14, 26, 38, 64, 74, 86（7個）
【2×素数³】54（1個）
【2×いくつかの素数】42, 78（2個）
【2³×素数】24,56（2個）
【2⁵×素数】96（1個）

------------------------------------------------------------------------------

(1),(2),(3)で合計57個の数に関して、その約数の総和が6の倍数になることがわかった。

57は100の過半数であることから、
　「1〜100の自然数において、約数の総和を6で割ったときの余りで一番多いものは 0」
となる。


★答えは「A」★