x^2＋y^2＋n^2≦2n(x＋y)
⇒　x^2−2nx＋y^2−2ny＋n^2≦0
⇒　(x−n)^2＋(y−n)^2≦n^2

すなわち(n, n)を中心とする半径nの円の内部（境界線を含む）の格子点の個数がaである
移動量が整数ならば平行移動しても格子点の個数は変わらないので
　x^2＋y^2≦n^2　の内部（境界線を含む）の格子点の個数を考えればよい

以下、x＞0, y＞0の四分円を考えることにする。

円弧を含む四分円内の格子点の数をS個とすると
4倍して、x軸上, y軸上の格子点と原点を加えれば、aになる。
　　⇒ a＝4S＋4n＋1

さて、y＝kのとき、円弧上の点のx座標は√(n^2−k^2) なので
　　√(n^2−k^2)−1 ≦（y＝k上の格子点の個数）

(以下のΣは全て、[kが1からn-1までの和]とする)

　Σ√(n^2−k^2)−(n−1) ≦ S

左辺根号の中身において n^2−k^2＝(n＋k)(n−k)≧(n−k)^2 であることを用いれば
　Σ(n−k) ≦ Σ√(n^2−k^2)
であり、
　　Σ(n−k) ＝ n(n−1)/2 ＝ (1/2)n^2−(1/2)n
なので、
　　(1/2)n^2−(3/2)n＋1 ≦ S　･･･�@

また、x＝nまたはy＝nのとき、四分円上に格子点は無く（y＝0, x＝0は除くので）
各格子点を右上の頂点とする、1辺の長さが1の正方形の面積の総和を考えると

　　S ＝ 正方形の面積の総和 ≦ 1辺が(n−1)の正方形の面積＝(n−1)^2　･･･�A


�@、�Aより、
　　(1/2)n^2−(3/2)n＋1 ≦ S ≦ n^2−2n＋1
4倍して
　　2n^2−6n＋4 ≦ 4S ≦ 4n^2−8n＋4
4n＋1を加えて
　　2n^2−2n＋5 ≦ a ≦ 4n^2−4n＋5

なお、任意の自然数に対して
　　4n＋1 ≦ 2n^2−2n＋5
が成り立ち、左辺の精度は出題よりも高い。（計算ミスさえしてなければ）


結論：ガウスの円の問題っぽい。

ヒミツ

与式の不等式 x^2＋y^2＋n^2≦2n(x＋y)
与式の　左辺ー右辺　を取ると、
＋2n(x＋y)−x^2−y^2−n^2＝　n^2-(x-n)^2＋(y-n)^2

Ｘ=(x-n)　Ｙ=(y-n) と置くと
与式は Ｘ^2＋Ｙ^2 ≦ n^2　→制約条件式(b)
とおきなおすことができる。
整数(x，y)の組の個数ａと整数(Ｘ，Ｙ)の組の個数は同じなので、制約条件式を満たす整数(Ｘ，Ｙ)の組の個数＝ａ

また、制約条件式(b)を満たす整数(Ｘ，Ｙ)の組の個数ａは、ＸＹ座標の平面上に、半径ｎの円を書き、その中にいくつ（Ｘ、Ｙ）を整数とする点が含まれている（線上もOK）という問と同じ意味である。

(1)　４ｎ＋１≦ａであることの証明
−ｎ≦ｔ≦ｎ　（tは整数）としたとき、
Ｘ軸上の点（ｔ、０）およびＹ軸上の点（０、ｔ）は全て条件を満たす。
上記組み合わせは全部で　４ｎ＋１　個ある。
　∴　４ｎ＋１≦ａ

(2)　ａ≦４ｎ^2−４ｎ＋5であることの証明
−ｎ＜ｔ＜ｎ　−ｎ＜ｓ＜ｎ（t,sは整数）において、
（ｔ、ｓ）および（±ｎ、０）および（０、±ｎ）の個数は　
　全部で　(n-1)^2+４＝４ｎ^2−４ｎ＋5個ある。
　図を描けば明らかなように、条件を満たす点は他に存在しない。
　∴　ａ≦　４ｎ^2−４ｎ＋5与式の不等式 x^2＋y^2＋n^2≦2n(x＋y)
与式の　左辺ー右辺　を取ると、
＋2n(x＋y)−x^2−y^2−n^2＝　n^2-(x-n)^2＋(y-n)^2

Ｘ=(x-n)　Ｙ=(y-n) と置くと
与式は Ｘ^2＋Ｙ^2 ≦ n^2　→制約条件式(b)
とおきなおすことができる。
整数(x，y)の組の個数ａと整数(Ｘ，Ｙ)の組の個数は同じなので、
整数(Ｘ，Ｙ)の組の個数＝ａ

制約条件式(b)を満たす整数(x，y)の組の個数ａは、ＸＹ座標の平面上に、半径ｎの円を書き、
その中にいくつ（Ｘ、Ｙ）を整数とする点が含まれている（線上もOK）かと同じ。

(1)　４ｎ＋１≦ａであることの証明
−ｎ≦ｔ≦ｎ　（tは整数）としたとき、
Ｘ軸上の点（ｔ、０）およびＹ軸上の点（０、ｔ）は全て条件を満たす。
上記組み合わせは全部で　４ｎ＋１　個ある。
　∴　４ｎ＋１≦ａ

(2)　ａ≦4 n^2−4n＋5であることの証明
−ｎ＜ｔ＜ｎ　−ｎ＜ｓ＜ｎ（t,sは整数）において、
（ｔ、ｓ）および（±ｎ、０）および（０、±ｎ）の個数は　
　全部で　(n-1)^2+４＝4 n^2−4n＋5個ある。
　図を描けば明らかなように、条件を満たす点は他に存在しない。
　∴　ａ≦　4 n^2−4n＋5

（１）（２）より、　
4n＋1≦　ａ ≦4 n^2−4n＋5
以上証明終

不等式は(x−n)^2 ＋ (y−n)^2 ≦ n^2 と変換できるので、
不等式が指し示す範囲は、(n,n)を中心とする半径nの円の円周と内部であり、
aの値は(n,n)から距離n以下である格子点の総数に等しい。

■4n＋1≦a の証明
x＝n, 0≦y≦2nを満たす2n＋1個の格子点は、(n,n)との距離がn以下である。
0≦x≦2n(x≠n), y＝nを満たす2n個の格子点についても同様のことが言える。
少なくとも相異なる2(n＋1)−1 ＝ 4(n＋1)組の(x,y)が不等式を満たすので、4n＋1≦aである。

■a≦4n^2−4n＋5 の証明
不等式を満たす(x,y)の組のうち、(0,n)(2n,0)(n,0)(0,2n)の4組を除くと、
残りすべての(x,y)の組は0＜x＜2n かつ 0＜y＜2n の範囲にある。
したがって、不等式を満たす(x,y)は高々(2n−1)^2＋4 ＝ 4n^2−4n＋5 組しか存在しないので、a≦4n^2−4n＋5である。

「半径nの円」が導かれる前提なら（中心は(0,0)として）
(n,0),(0,n),(-n,0),(0,-n)を頂点とする菱形（正方形）が
円に内包されているのを考えるのはたやすいので、下限を

（1〜n−1の和）×4＋4n＋1 ＝ 2n^2＋2n＋1

にしてもいいんじゃないかな、と思った。
てかこれ、私が最初に出した下限より精度高いし、

x^2＋y^2＋n^2≦2n(x＋y)…�@
(x-n)^2+(y-n)^2≦n^2
より、aは中心(n,n) 半径nの円内の格子点の数

�@を満たす(x,y)の数は
x=nのときy=0,1,2,…,2nの2n+1個
y=nのときy=0,1,2,…,2nの2n+1個
(n,n)の重複を除くと、計4n+1個
∴4n＋1≦a　(等号はn=1)

またx=0,x=2n,y=0,y=2nそれぞれの場合で�@を満たす組は1つずつ、計4個
他の(x,y)は1≦x≦2n-1かつ1≦y≦2n-1であり
この範囲の格子点の数は(2n-1)^2=4n^2-n+1 個
∴a≦4+(4n^2-4n+1)=4n^2-4n+5　(等号はn=1)

したがって4n＋1≦a≦4n^2-4n+5


下限が甘いというのは4n-1の条件が甘いということかと
例えば2n^2+2n+1などに変えればもっと条件は厳しくなる。

円を考えたときのx=nまたはy=nの十字上の格子点ではなく、n≦x+y≦3nかつ-n≦-x+y≦nの45°傾いた正方形内の格子点を数えると2n^2+2n+1になる

x^2＋y^2＋n^2≦2n(x＋y) … �@
|x−n|＋|y−n|≦n … �A

x,y,nは実数であるので
�@は(x−n)^2＋(y−n)^2 ≦ n^2
�Aは(x−n)^2＋(y−n)^2 ≦ n^2−2|x−n||y−n|　と変形することができる。
明らかに|x−n||y−n|≧0であるので、�Aを満たす整数(x,y)の組は、�@も満たす。

�Aが示す範囲は、(0,n)(n,0)(2n,n)(n,2n)の4点を頂点に持つ正方形の外周および内部であり、
この範囲内には格子点が2n^2＋2n＋1個含まれているので、�@を満たす整数(x,y)の組は少なくとも2n^2＋2n＋1個はある。
したがって、2n^2＋2n＋1≦ａ
n≦1であるので、4n＋1≦2n^2＋2n＋1≦ａ

与式を変形すると不等式は、中心(n,n)、半径nの円の周及びその内部を表していることがわかる。
この領域をSとする。
点(n,k)(k=0,1,2,・・・,2n)はSに含まれ、この個数は(2n+1)個・・・A
点(l,n)(l=0,1,2,・・・,2n,l≠n)もSに含まれ、その個数は2n個・・・B
ABに点の重複はないので、
a≧4n+1
原点を頂点の１つとする、円の外接せいほうけいの1辺の長さは2nで、この内部の格子点の個数は
(2nー1)2乗=4n2乗-4n+1より少ない。
ここには、4点(0,n),(n,0),(2n,n),(n,2n)以外のSに含まれる格子点が全て含まれている。
よってa≦4n2乗-4n+5以上より、題意は示された。