FAQ
RSS
虚数で遊ぼう
ぼやき餅
このクイズのヒント
-
ヒント知らないよ
このクイズの参加者（10人）
算数・数学クイズ
算数・数学クイズ
広告
広告
広告
クイズ大陸関連書籍
|
|
ツイート
|
回答募集は終了しました。
ぼやき餅
残念ですが･･･
ぼやき餅
(1)正解です
 (2)は不正解です･･･ 問1
iの累乗は指数が4つで1周期 1周期の4つの和は0なので 与式=i+i^2014=i+i^2=i-1 問2 x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2)=0 よりα、βは後半=0の解でα,β=-1±i α+β=-2、αβ=2、α^2+β^2=0 αについて、αが満たす式から α^3=2α+4、α^2=-2α-2 α^9=(2α+4)^3=8(α^3+6α^2+12α+8)=8×2α=16α βについても同様にβ^9=16β よりα^9+β^9=16(α+β)=-32 
正解と感服の基準が知りたい気も
ぼやき餅
はい、正解です
うーん、基準ですか  正解メダルは本解と一致してる(当たり前ですが)or答えのみ囁かれた場合、 別解メダルは私が予想しなかった回答、 感服メダルは私が感動した回答といったところですかね。 自分の中で別解と感服の境界が曖昧な気が 
問１
iを（４連続の自然数乗）すると、i,-1,-i,1の４つが一つずつ出てくるので、和＝０ ｉ＋ｉ2014＋ｉｎ＋ｉｎ＋1＋ｉｎ＋2＋ｉｎ＋3＋ｉ2014ｎ＋ｉ2014ｎ＋1＋ｉ2014ｎ＋2＋ｉ2014ｎ＋3 = i - 1 + 0(その次４つ) + 0(最後の４つ) 答 i - 1 問２ x^3－2x－4＝(x-2)(x^2+2x+1)=0 αとβ は(x^2+2x+1)の異なる解なので αβ＝２、α＋β＝－２、--(ｱ)である。 α^2＋β^2＝(α＋β)^2－２αβ＝０--(ｲ) 一般的に ｎ≧４ において、、 α^n＋β^n ＝(α^2＋β^2)(α^(n-2)＋β^(n-2)）－２(αβ)(α^(n-4)＋β^(n-4)） ＝０-２(２)(α^(n-4)＋β^(n-4)） ＝ －４(α^(n-4)＋β^(n-4)）--(ｳ) (ｱ)式を初項にして(ｳ)式を展開 α^1＋β^1 ＝ －２ α^5＋β^5 ＝ ＋８ α^9＋β^9 ＝－３２ 答 －３２
問２の９乗式はほぐして進めるのが本解だろうと想像しましたが、恒例の一般解攻撃
 
ぼやき餅
はい、正解です。
一般解は参考にさせていただきます
問1 i-1
(与式) = i+i^2014 + (i^n + i^2014n)(1+i+i^2+i^3) 1+i+i^2+i^3 = (1+i)(1+i^2) = (1+i)(1-1) = 0 なので (与式) = i+i^2014 = i+(i^4)^503・i^2 = i-1 問2 32i x^3 - 2x - 4 = (x-2)(x^2 + 2x + 2) = 0なので、解は2、-1+i、-1-i α+β = -2、αβ = 2なので α^3+β^3 = (α+β)(α^2 - αβ + β^2) = (α+β)[(α+β)^2 - 3αβ] = -2[(-2)^2 - 3・2 ] = -2(4-6) = 4 α^9+β^9 = (α^3+β^3)(α^6 - α^3・β^3 + β^6) = (α^3+β^3)[(α^3+β^3)^2 - 3(αβ)^3 ] = 4[4^2 - 3・2^3] = 4(16-24) = -32
3次方程式、久しぶりすぎて色々と忘れてしまっていた。
ぼやき餅
はい、正解です
ｉ＋ｉ^2014＋ｉ^ｎ＋ｉ^(ｎ＋1)＋ｉ^(ｎ＋2)＋ｉ^(ｎ＋3)＋ｉ^(2014ｎ)＋ｉ^(2014ｎ＋1)＋ｉ^(2014ｎ＋2)＋ｉ^(2014ｎ＋3)=i-1+2(1+i+-1-i)=i-1
三次方程式の方はタルタリアで力技します（まだやっちゃいない）。
ぼやき餅
正解でーす
※問1のみなので惜しいメダルとしています。
ぼやき餅
はい、正解です
(1)i＋i＾2＋i＾3＋i＾4＝0とi＾2014＝i＾2＝－1に注意すると、(与式)＝i－1
(2)因数分解して虚数解を求めるとx＝－1±i＝√2(cos(±3π/4)＋isin(±3π/4)) ∴(求値式)＝(√2)＾9 (cos(27π/4)＋isin(27π/4))＋(√2)＾9 (cos(27π/4)－isin(27π/4)) ＝－32
どうでしょうか。
ぼやき餅
はい、正解です
まず、ｉ2014乗が－1でそれ以降は計算したら０。
↑うまく説明できないので省きました（オイ） 結果ｉ－1が残りました。
1だけです。
根本的に間違ってる気がします 
ぼやき餅
実はそれで合っているという
※問１のみなので惜しいメダルとしています。 
ぼやき餅
問２は高次方程式なので数Ⅱの範囲になりますね。
(ものすごく頑張れば数Ⅰの知識で解けないこともない) 解法はいろいろありますが、いずれにせよ因数分解が必要です。
ぼやき餅
解答公開の際に解説も一応するので、よかったらみてください･･･
問１
与式＝i+i^2014+i^n+i^n+i^(n+1)+i^(n+2)+i^(n+3)+i^(2014n)+i^(2014n+1)+i^(2014n+2)+i^(2014n+3) i^2014＝(i^4)^503×i^2＝1^503×(-1)＝-1 i^n+i^(n+1)+i^(n+2)+i^(n+3)＝i^n(1+i+i^2+i^3)＝(i^n)(1+i-1-i)＝0 同様に i^(2014n)+i^(2014n+1)+i^(2014n+2)+i^(2014n+3) ＝i^(2014n)(1+i+i^2+i^3)＝0 ∴与式＝i-1 問２ x^3－2x－4＝(x-2)(x^2+2x+2) x^2+2x+2＝0 ⇒ x＝-1±i α^9＋β^9は対称式ゆえ α＝-1+i, β＝-1-i で問題ない。 2次方程式の解と係数の関係より・・・といいたいところだが、 α^2＝(-1+i)^2＝-2i, β^2＝(-1-i)^2＝2i α^9＝α×(α^2)^4＝(-1+i)(-2i)^4＝16(-1+i) β^9＝β×(β^2)^4＝(-1-i)(+2i)^4＝16(-1-i) のほうが楽っていう。 ∴α^9＋β^9＝-32
計算ミスしてそう。問１はともかく問２はいくらでもやり方ありますね
ぼやき餅
はい、正解です
ちょっと時間かかりましたが解説。
〈解説〉 問１ 指数法則を利用して変形すると、 与式＝ｉ＋(ｉ2)1007＋ｉｎ＋ｉｎ＋1＋ｉ2×ｉｎ＋ｉ2×ｉｎ＋1＋ｉ2014ｎ＋ｉ2014ｎ＋1＋ｉ2×ｉ2014ｎ＋ｉ2×ｉ2014ｎ＋1 ＝ｉ＋(－1)1007＋ｉｎ＋ｉｎ＋1－ｉｎ－ｉｎ＋1＋ｉ2014ｎ＋ｉ2014ｎ＋1－ｉ2014ｎ－ｉ2014ｎ＋1 ＝ｉ－1 問２ まず方程式の左辺を因数定理で因数分解すると、 (x－2)(x2＋2x＋2)＝0 となります。ここで、α、βは虚数解なので、これらは明らかに 方程式 x2＋2x＋2＝0 の解です。(実際にα、βの値を出す必要はありません) さて、ここからいろいろな解き方がありますが、 本解では、下記の2点を活かして解きます。 (｡) α、βは方程式 x3－2x－4＝0 の解である。 (｢) α、βは方程式 x2＋2x＋2＝0 の解である。 (｡)より、α3－2α－4＝0 → α3＝2α＋4 (｢)より、α2＋2α＋2＝0 → α2＝－2α－2 ゆえに、α9＝(α3)3＝(2α＋4)3＝8α3＋48α2＋96α＋64＝8(2α＋4)＋48(－2α－2)＋96α＋64 ＝16α･･･① 同様に、β9＝16β･･･② 解と係数の関係により、α＋β＝－2 ①と②の辺々を加え、α9＋β9＝16α＋16β＝－32 間違いあったらコメ欄からご指摘下さい。
ぼやき餅
訂正しました。ありがとうございます
|
問題へジャンプ