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(x＋8)＾ｎ
ぼやき餅
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このクイズの参加者（5人）
算数・数学クイズ
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１６２から１６９まで。
一般解として、 18*(a+1)が最初のセーフで、 (18+1)*(a+1)-1が最初のアウトになると思います。a=8を代入。 
自分の答の証明は後からお送りします。これ、すごい歯ごたえある問題でした
 。今の高校生はどこかで習うのかなぁ？  
ぼやき餅
はい、正解です
 この問題は、青森県の弘前大学の問題を参考に作成したものです。 (引用ではなく解答の考え方を頂きました) 参考問題も、回答公開した時に載せようかなと思っています。 x^17の項の係数 ＜ x^18の項の係数 となる条件のnは162以上。
x^17の項の係数 ＞ x^19の項の係数 となる条件のnは169以下。 両方満たすnは162≦n≦169。 パスカルの三角形に関する規則からちょっと…
真面目に計算しようとしたら1日くらいかかりそう。
ぼやき餅
はい、正解です
私の場合一ヶ月かかっても無理な気が･･･
(x+8)^nのk次の係数をa(k)とする
a(k)=(nCk)・8^(n-k)={n!・8^(n-k)}/{(n-k)!・k!} a(k+1)=(nC(k+1))・8^(n-(k+1))={n!・8^(n-k-1)}/{(n-k-1)!・(k+1)!}=a(k)・(n-k)/8(k+1) ∴a(k+1)/a(k)=(n-k)/8(k+1) よってa(k+1)>a(k)⇔k<(n-8)/9 (∵a(k+1)/a(k)>1→(n-k)/8(k+1)>1) 同様に a(k+1)=a(k)⇔k=(n-8)/9、a(k+1)<a(k)⇔k>(n-8)/9 したがって ・(n-8)/9が整数でないとき、m+1>(n-8)/9>mとなる整数mをとると a(n)<a(n-1)<…<a(m+1)>a(m)>…>a(1)>a(0) mが0以上n未満でないときは大小記号は統一される) ・(n-8)/9が整数のとき、それをmとおくと a(n)<a(n-1)<…<a(m+1)=(m)>…>a(1)>a(0) となる a(18)が最大になるには17≦(n-8)/9≦18であればよい ∴161≦n≦170
普通に
ぼやき餅
はい、正解です
（x+a）^n において、
x^tの係数の一般項は二項定理より10Ｃｔ×a^t と表される。 x^tとx^(t+1)項の係数の比をとると、 前半（パスカルの三角形部分）（n-t）/t+1。 後半 1/a よって （n-t）/(t+1)a。 項の係数は、最大の値まで単調増加、その後単調減少に転じるので、 x^18の項の係数が最大である条件は、 （n-17)/18a > 1 17項より大 かつ (n-18)/19a < 1 19項より大 a=8 を代入、nについて上記を解くと、 18*8+17 < n < 19*8+18 一般解は t*a + t-1 < n < (t+1)*a +t
高校生レベルですっきり証明できました
 なるほど、これなら入試に出てもおかしくはないですね。
ぼやき餅
完璧でございます
２項定理で最大になる条件を考えて
n＝162,163,…,169
あまり自信がありません。
すみませんが、あってなければ、解答公開を少し延期していただけますか？ 
ぼやき餅
正解でーす
ぼやき餅
考え方の指針は合ってますが、もっと大きい数字なのです
〈解説〉
まず手計算は無謀（ものすごく当たり前）なので、二項定理から考えます。 (x＋8)＾ｎ を展開した時、第k項は、(nCk)×8^(n−k) (係数のみ取り出してます) この時、 第k＋1 項の係数は、{nC(k＋1)}・8^{n−(k＋1)} 第k−1 項の係数は、{nC(k−1)}・8^{n−(k−1)} となります。 仮に第k項が最大とすると、 第k−1 項の係数＜第k項の係数 ･･･{n!・8^(n−k＋1)}/{(n−k＋1)!・(k−1)!}＜{n!・8^(n−k)}/{(n−k)!・k!} ･･･(p) 第k＋1 項の係数＜第k項の係数 ･･･{n!・8^(n−k−1)}/{(n−k−1)!・(k＋1)!}＜{n!・8^(n−k)}/{(n−k)!・k!} ･･･(q) 両辺の因数を上手く消去して不等式を解き、(p) と (q)の共通範囲を求めると、 161＜n＜170 となります。 ※勿論kには18を代入しますよ！
「参考問題載せようかな」とか言っといてすっかり忘れてたので載せときます
問 (x＋5)80を展開した時、x の何乗の係数が最大になるか答えよ。 〈弘前大学〉 |
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