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割り算しましょ

難易度：★★★★ 　

I.T 2014/08/25 21:16

a_n=28³ⁿ/(28ⁿ+3) (n=1,2,3,4,…)

S_n=Σⁿ_k=1(a_k)　（S_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_n)

S_nの整数部分の1の位の数をb_n

とする。たとえば、S_n=2014.825のときb_n=4である。

問題
b₂₀₁₄は何でしょう？
また、b_n=5となるnをすべて求めてください。




	【an=28^2n-328^n+9-27/(28^n+3) 0<27/(28^n+3)<27/28^nより 0<Σ{27/(28^n+3)}<1 Sn=Σ(28^2n-328^n+9)として =28^2(28^2n-1)/(28^2-1)-328(28^n-1)/27+9n (28^2n-1)の一の位は4^n-1の一の位と等しく、(28^2-1)の一の位は3で、(28^2n-1)/(28^2-1)は割り切れるので、 (28^2n-1)/(28^2-1)の一の位xは、3xの一の位が4^n-1の一の位と等しくなるようなxである。同様に、(28^n-1)/27は割り切れるので、 (8^n-1)と7から(28^n-1)/27の一の位が求まる。 4^n-1はn=1,2,3,…とすると、3,5,3,5,…と周期2で変化する。よって、4(4^n-1)/3の一の位は4,0,4,0,…と変化する。同様に考えて、 4(8^n-1)/7の一の位は4,6,2,0,…と周期4で変化する。 9nの一の位は9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,…と周期10で変化する。したがって、Sn-1の一の位(bn)は周期20で変化することがわかる。 2014=20100+14より b2014=b14=0-6+6-1=9 bnは8,1,8,5,4,7,4,1,0,3,0,7,6,9,6,3,2,5,2,9,…と変化するので、 bn=5となるnは n=20k-16,20k-2　(k=1,2,3,…)】