2の累乗を並べる。
2,4,8,16,32,64...
1の位を取り出すと、
2,4,8,6,2,4...
以降も、1の位は2,4,8,6のサイクルを
繰り返す。

最初(2の1乗)は2。

ある2の累乗で、
1の位が2である数10n+2を2倍にしたら、
10*2n+4→1の位は4

ある2の累乗で、
1の位が4である数10n+4を2倍にしたら、
10*2n+8→1の位は8

ある2の累乗で
1の位が8である数10n+8を2倍にしたら、
20n+16=10*(2n+1)+6→1の位は6

ある2の累乗で
1の位が6である数10n+6を2倍にしたら、
20n+12=10*(2n+1)+2→1の位は2

ここまででループする。

なので、
2^(4n+1)のとき、1の位は2
2^(4n+2)のとき、1の位は4
2^(4n+3)のとき、1の位は8
2^(4n)のとき、1の位は6
となる。

問題の数は2^1000、つまり
2^(4*250)だから、
1の位は6になる。

10の位まではすべて5で割り切れるから、
残りは1の位だけ、
そして、6を5で割ると1あまり１

よって、2^1000を5で割ったあまりは１

模範解答ではないと思います。
２進数変換の考えを含めます。
２の４乗から２の７乗までそれぞれ５で割ると余りは、順に１、２、４，３になりこれで１サイクルになります。
２の１０００乗は４乗から７乗のどの列に位置するか。１０００割る４で割り切れるので、２の４乗の列と同じ余りになります。
答えは１

答え→余りは 1<br>x^1000=x^2｛(x^2)^499+1｝-(x^2+1)+1 ですから、x^1000を x^2+1 で割った余りは1。<br>xに2を代入すれば、2^1000を 2^2+1=5 で割った余りは1。

以下、合同式の法を５とする。
このとき、
2^1000=(2^4)^250=16^250≡1^259=1

下一桁だけに注目すると
2→4→8→6→2・・・
四つの数で巡回している
そして上の順番の1000番目は6
6÷5=1 あまり1
答えは「1」

2^nの末尾の1桁は2,4,8,6の4周期が繰り返す。2^1000の場合、1000÷4＝250…0より末尾は6、よって5で割った時のあまりは1である。

5を法として議論しましょう。

2^4≡1　(mod 5)
ですから、
2^1000=(2^4)^250≡1^250≡1　(mod 5)
となります。

以上から、余りは1です。

かけていくと 一の位が
2 4 8 6 2 4 8 6 ...
となっていて、1000番目は6。
十以上の位は無視していいから
6÷5＝1余り1
よって1があまりだ！