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割られるのは?

難易度：★ 　

河野真衣 2014/08/07 15:59

「これ、出題してくれない?」　うちの高1生が、最近出題された、式の割り算に関する問題を見て思い付いたものを持ってきました。私も成るほどねと思ったので出題させてもらうことにしました。皆さんにはどうでしょうか?

【問題】
x^11 を (x^10＋1) で割ると、余りは -x です。
x^n を (x^10＋1) で割った余りが　-x となるような3桁の自然数 n を1つ見つけて下さい。




	【n=111,131.151等】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

ヒミツ

PDJ 2014/08/07 17:13

これでお願いします

河野真衣正解 !　お答えの通りです　 (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.2

ヒミツ

親子鷹 2014/08/07 17:52

自信ない

河野真衣 nがこの数だと余りは -x にはなりません。 (;_;)

　式の変形のやり方をチェックして見てください。

▲ △ ▽ ▼ No.3

ヒミツ

Nighteck 2014/08/07 18:37

こんなところ

河野真衣そんなところで正解です。　 (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.4

ヒミツ

親子鷹 2014/08/07 22:15

これならどうかな？
自信ない

河野真衣これならokです。　 (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.5

ヒミツ

みれい 2014/08/08 02:21

これが一番小さいnかな。

河野真衣正解です。 (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.6

x＾n ＝(x＾10 ＋1)Q(x)－xとおく。
x＾10 ＋1＝0の解の１つ
x＝cos(π/10)＋isin(π/10)を上式に代入すると
cos(nπ/10)＋isin(nπ/10)＝－cos(π/10)－isin(π/10)
cos(nπ/10)＋isin(nπ/10)＝cos(11π/10)＋isin(11π/10)
偏角を比較して
nπ/10＝(11π/10)＋2kπ
n＝11＋20k
nは３桁の自然数なのでk＝5,6,…,48,49
∴n＝111,131,…,971,991

ｉ 2014/08/09 17:05

別解が２、３通りありそうですね (^^)

河野真衣正解です。 (^^)

　こういう解き方があるとは思っても見ませんでした。 (○。○)

▲ △ ▽ ▼ No.7

ヒミツ

ぼやき餅 2014/08/09 22:10

こういうこと？
うーん、自信ない (^^;)

河野真衣 n がこの数だと余りは -x にはなりませんね。残念ですが…　 (;_;)

▲ △ ▽ ▼ No.8

ヒミツ

りんじん 2014/08/09 23:09

ごちゃごちゃして申し訳ないですが

河野真衣 2つの数共正解です。 (^^)

　
ただ、お答えの2数以外にも条件を満たす n は数十個ありますよ。 (^o^)

▲ △ ▽ ▼ No.9

ヒミツ

ぼやき餅 2014/08/09 23:59

これで間違いだったら白旗ですね (^^;)

河野真衣良かった。正解です。 (^^)

前回の n ですと、お書きの通り、余りは x でした。 (○。○)

▲ △ ▽ ▼ No.10

ヒミツ

りんじん 2014/08/10 14:19

これで全て網羅できてるはず

確認したら一部記号が表示されてませんでした
∓はマイナスプラス(±の逆)です

河野真衣お説のとおりです。 (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.11

河野真衣 2014/08/17 22:00

回答有難うございました。少し早めですが答えを書いておきます。

kを正の整数とすると、(x^10)^(2k+1)+1 は x^10+1 で割り切れます。したがって、
x｛(x^10)^(2k+1)+1｝-x =x^(20k+11) を (x^10+1) で割ると余りは -x になります。
nは3桁の整数ですから、k=5,6,7,…49 のとき、あまりは-x です。
よって、n=111,131,151,…991 はすべて答えになります。

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