問1：x^3
式が単純なので筆算すればすぐ求まるが一般的な方法なら
x^99=Q(x)(x^4-1)+ax^3+bx^2+cx+dにx=1,-1,i(もしくは-i)を代入して4式を解く(iは2式)→a=1,b=c=d=0

問2：18(1+2√2i)
xは虚部を分離して2乗でx^2=4x-6
この変換を利用してsはs=x-1=1+√2i、よってs^2=2s-3
これを利用して計算すればt=36s-18=18(1+2√2i)
最後の計算はs^2でくくったり直接割ったりと方法はいろいろ

(1)x^3<br>x^n=f(x)(x^4-1)+A(n)x^3+B(n)x^2+C(n)x+D(n) とおく<br>(n:自然数，f(x):整式，A(n),B(n),C(n),D(n):係数)<br>このとき，両辺にx^4を掛けると<br>x^(n+4)=x^4*f(x)(x^4-1)+(x^4-1){A(n)x^3+B(n)x^2+C(n)x+D(n)}+A(n)x^3+B(n)x^2+C(n)x+D(n)...1*<br>また，整式g(x)を用いると<br>x^(n+4)=g(x)(x^4-1)+A(n+4)x^3+B(n+4)x^2+C(n+4)x+D(n+4)...2*<br>1*,2*より<br>X(n+4)=X(n) (X=A,B,C,D)<br>したがってA(n),B(n),C(n),D(n)の周期は4<br>よって X(4m-k)=X(4-k)が成立 (k=0,1,2,3，m:自然数)<br>n=99のとき，99=4*25-1より X(99)=X(3)<br>x^3=0*(x^4-1)+x^3 だから<br>A(3)=1,B(3)=0,C(3)=0,D(3)=0<br>したがってA(99)=1,B(99)=0,C(99)=0,D(99)=0⇔x^99=f(x)(x^4-1)+x^3<br>以上よりx^99を(x^4-1)で割った余りはx^3<br><br>(2)18+36√(2)i<br>x=2+√(2)i⇔x^2-4x+6=0 より<br>s=x^3-5x^2+11x-7=(x^2-4x+6)(x-1)+x-1=x-1<br>これよりs=1+√(2)i⇔s^2-2s+3=0<br>また，t=s^2+3s+3=(s^2-2s+3)+5s より t=5s<br>t^2-s^4-6s^3-6s^2=A とおくと<br>A=25s^2-s^4-6s^3-6s^2<br> =-s^4-6s^3+19s^2<br> =-(s^2-2s+3)(s^2+8s-6)+36s-18<br> =36s-18=18{1+2√(2)i}<br>以上より t^2-s^4-6s^3-6s^2=18+36√(2)i<br>

答え
問1. 余り→x^3
x^99=x^99-x^3+x^3=x^3｛(x^4)^24-1｝+x^3.(x^4)^24-1はx^4-1で割り切れるから余りはx^3。　　　　　　　　　　　　　　　　

問題１.余りをkx＾3 ＋lx＾2 ＋mx＋nとおいて、等式をつくり、x＝i,1,−1を代入して解くと、k＝1,l＝m＝n＝0.
∴余りはx＾3.
問題２.誘導に従ってがんばると、
(求値式)＝18＋36√2i