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このクイズの参加者（5人）
算数・数学クイズ
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 高校生のための数学
難易度：★★
 河野真衣
2014/07/31 14:32
最近、どうもうちの高１生の生活態度がピシッとしないので、「去年の夏休みは目の色変えて勉強してたのに、今年はちょっとたるんでるみたいね。たまにはこんなのもやってごらん。半分ぐらいはできるんじゃない?」と偉そうに言いながら出した問題です。皆さんも京都五山の送り火頃迄にはやって下さいね。
 【問題】 長方形ABCDがあり、AB=CD=3(cm),BC=DA=4(cm)です。辺BC上に点Eを、辺CD上に点Fをそれぞれとって、∠FAE=45°となるようにします。このときできる⊿AEFについて、 問①⊿AEFの面積の最大値は何cm^2になりますか。 問②⊿AEFの面積を最小にするには、BEの長さを何cmにすればいいでしょうか。
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回答募集は終了しました。
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角BAE=θ(0≦θ≦π/4)<br><br>S=AE*AF*sin(π/4)/2=AE*AF*√2/4<br><br>AE=3/cosθ,AF=4/cos(π/4-θ)<br>AE*AF=12/(cosθ*cos(π/4-θ))<br><br>f(θ)=cosθ*cos(π/4-θ)<br>f'(θ)=-sinθ*cos(π/4-θ)+cosθ*sin(π/4-θ)<br>=-sin(2θ-π/4)<br>極値はθ=π/8のみ<br>f(0)=1/√2,f(π/8)=(1+1/√2)/2=1/(4-2√2),f(π/4)=f(0)<br><br>S=3√2/f(θ)<br>最大値S=6cm^2<br>最小値θ=π/8,BE=3tan(π/8)=(3-3cos(π/4))/sin(π/4)=(3-3/√2)*√2=3√2-3 (cm)
どうでしょう
確かにそうですね、見落としてました 
河野真衣
正解です。
 ただ１つ、∠BAE=θの範囲が、0≦θ≦π/4 となっているのは間違いではありませんか? θ=0なら、点Fは辺CD上の点ではなくなってしまいますから。 
∠FAD=θとすると，∠EAB=π/4-θ<br>更にDF=s，BE=tとすると，tanθ=s/4，tan(π/4-θ)=t/3<br>tan(π/4-θ)=(1-tanθ)/(1+tanθ)より<br>t/3=(4-s)/(4+s)...1*<br>⊿AEF=3*4-⊿ABE-⊿ADF-⊿CEF<br> =12-3t/2-2s-(4-t)(3-s)/2<br> =6-ts/2<br>1*より ⊿AEF=6-3s(4-s)/2(4+s)<br>f(s)=6-3s(4-s)/2(4+s)とすると<br>f'(s)=3(s^2+8s-16)/2(4+s)^2<br>0≦tanθ≦3/4⇔0≦s≦3よりf'(s)=0とするとs=4√2-4<br>したがってf(s)はs=4√2-4で極小値(最小値)をとり，s=0かs=3で最大値をとる<br>f(0)=6,f(3)=75/14＜6より，最大値はs=0のとき<br>またs=4√2-4のとき，t=3(√2-1)<br>以上より<br>(1)6cm^2<br>(2)BE=3(√2-1)<br><br><br>
あまり自信ないですが
河野真衣
りんじんさん、はじめまして。これからもよろしくお願いします。
①②共正解です。 
∠DAF=θとおくと
AE=3/cos(π/4-θ)、AF=4/cosθ △AEF =AEAFcos(π/4)/2 =3√2/(cos(π/4-θ)cosθ) =6√2/(cos(π/4)+cos(2θ-π/4)) =6√2/((1/√2)+cos(2θ-π/4)) よりcos(2θ-π/4)が最小のとき△AEFは最大 -π/4≦2θ-π/4≦π/4なので θ=0,π/4でcos(2θ-π/4)は最小、△AEFは最大値6 cos(2θ-π/4)が最大のとき△AEFは最小 θ=π/8でcos(2θ-π/4)は最大 このとき∠BAE=π/8 BC上に∠BAG=π/4となるGをとるとBG=3、AG=3√2 BE=3×3/(3+3√2)=3(√2-1) したがって①6cm^2、②3(√2-1)cm
こうですかね
やっぱり受験の夏ほどには勉強できないもんでしょうね
河野真衣
θの範囲にちょっとミスがある以外は正解です。 私と違って、いつも通り鮮やかな算出方法ですね。
河野真衣
おっしゃる通りです。
河野真衣
きたちゃさん、回答ありがとうございます。①正解です。
②は求め方が書いてありませんが、答えは有理数ではありません。 
BE＝x,DF＝yとおく。
常に45°であることとtanの加法定理を用いると y＝(12－4x)/(x＋3)…(1) 図を書くと0≦x≦4,0≦y≦3は自明で、このyの範囲を、(1)を利用してxに反映させると 3/7≦x≦3…(2) △AEFの面積をSとすると、(1)(2)に注意して S＝(1/2)AE・AFsin45° ＝(1/2√2)(√((x＾2)＋9)((y＾2)＋16)) ＝2x－6＋36/(x＋3) Sをxで微分すると、Sは(2)の範囲で単調減少だとわかる。 ∴x＝3/7のとき最大でS＝75/14 x＝3のときSは最小でこのときBE＝x＝3
あまりスマートな解答にはなりませんでした
河野真衣
本当に惜しい!
面積の式は、私が求めた式と同じなんですが、この式がお答えのxの範囲で単調減少なのかどうか、もう一度チェックして見てください。そうすれば、容易に正解できますよ。
河野真衣
これで①②共正解です。
回答有難うございました。答えです。
長方形ABCDで、BE=x,DF=y とします。 ⊿AEFで、余弦定理より、 EF^2=AE^2+AF^2-2AE・AFcos45° (4-x)^2+(3-y)^2=x^2+9+y^2+16-√2×√(x^2+9)(y^2+16) より、x,yの値を考慮して、 y=4(3-x)/(x+3)…①となります。このとき、0≦y≦3であることから、3/7≦x≦3であることもわかります。 ⊿AEFの面積をSとすると、 S=長方形ABCD-(⊿ABE+⊿ECF+⊿AFD) = 12-1/2{3x＋(4-x)(3-y)＋4y}…② ②に①を代入して整理すると S=2{x-3+18/(x+3)} 但し、3/7≦x≦3 微分すると、Sはx=3/7～3(√2-1)の範囲で単調減少、x=3(√2-1)で極小、x=3(√2-1)～3 の範囲で単調増加します。 x=3/7→S=75/14,x=3→S=6ですから、 問①の答え…6cm^2 BE=3cm 問②の答え…3(√2-1)cm 面積=12(√2-1)cm^2 正解された方々の算出法の方が私のよりずっとスマートですね。  |
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