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2次方程式と整数の関係
ぼやき餅
このクイズのヒント
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ヒント知らないよ
このクイズの参加者（7人）
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回答募集は終了しました。
ぼやき餅
完璧。正解です
ぼやき餅
正解です。
ちなみに宿題じゃないよ、オリジナルだよ 
ぼやき餅
惜しい！
 考え方は完璧ですが・・・ 一つ見落としてるパターンがあります。
ぼやき餅
とりあえず囁きは正解。
でもまだまだ成り立つパターンがあるんです  余計なお世話かもしれませんがヒント。 ヒント(反転) 題意より、2つの解を仮にα、βとすると、 α＝5×A とおくことができます。ただしこの時、AとBは互いに素です。 β＝5×B 「互いに素」・・・2つの整数の最大公約数が1 上の式を「解と係数の関係」の公式に当てはめてみて下さい。 
ぼやき餅
うーん、残念
数学Aや数学Ⅱの知識があれば大分楽なのですが・・・ まずは、方程式を因数分解した形で考えてみてください。
ぼやき餅
囁きは正解。でもまだあるんですよー
2X^2+mX+9000=0 より，解Xが自然数なのでmは整数<br>この方程式の解は X={-m±√(m^2-72000)}/4<br>Xは自然数なので -m-√(m^2-72000)＞0 ⇔ -m＞√(m^2-72000)≧0 ⇔ m＜0<br>m^2-72000=0 のとき，Xが自然数とならないので不適 よって m^2-72000＞0<br>m^2-72000=k^2 (k:自然数)とおくと (m+k)(m-k)=72000 ･･････(*)<br>ここで m=-n とおくと，n＞0 で(*)式は(n+k)(n-k)=72000 となる<br>(n+k)-(n-k)=2k＞0 より，(n+k)＞(n-k)であり，n+k と n-k の偶奇は一致<br>(n+k)(n-k)=72000 から n+k と n-k はともに偶数<br>更に X={-m±√(m^2-72000)}/4 ⇔ X=(n±k)/4 ⇔ 4X=n±k より，2つの解の最小公倍数は5だから，n+k と n-k の最小公倍数は20<br>以上より，(n-k,n+k)=(20,3600),(80,900),(100,720),(180,400)<br>よって，n=1810,490,410,290<br>したがって，m=-1810,-490,-410,-290<br><br><br>
あえて正攻法じゃない方法で
まあ正攻法よりも手間が多いですが。 
ぼやき餅
成る程、その手があったか。。。
ぼやき餅
正解です
ぼやき餅
まだあります。
・・・もしかしてシラミ潰し的な？
ぼやき餅
あと一つあります
〈解説〉
与式の解をα、βとします。この時、整数の性質により、 α＝5×A β＝5×B とおけます。(AとBは互いに素) さて、与式の左辺は、2(X－α)(X－β)と因数分解できます。 よって、2X^2＋mX＋9000＝2(X－α)(X－β)なので、右辺を展開し、 α＋β＝－m／2 αβ＝4500 (解と係数の関係を使えば、ここまで一気にジャンプ可能) α＝5×Aとβ＝5×Bより、25×AB＝4500 したがって、AB＝180。 さて、AとBは自然数なので、これらは180の約数であると考えられる。 180＝2^2×3^2×5 (素因数分解)である。 AとBは互いに素なので、同じ素因数は含まない。 なので、素因数の分け方としてあり得るのが (今回はA＜Bとします) A＝1、B＝2^2×3^2×5 A＝5、B＝2^2×3^2 A＝2^2、B＝5×3^2 A＝3^2、B＝5×2^2 の4通り。 要点は以上。 |
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