1. BC=aとして、3:a=a:3-a⇔a^2+3a-9=0
…正負一つずつ解をもつので正の解をbとおく。
… cos36°=(18-9+3b)/18=(b+3)/6
…………=(-3+3√5)/12+1/2=(1+√5)/2

2. √3-√2
3. Xが線分ABと交点を持つ場合。交点がP
… XがYに重なる場合。線分AB上の任意の点
…それ以外、Aを中心にXと2回交わる円をかく。
……それぞれの交点を中心とした円をかく。
……その2つの円のAでない交点とBを結び
……Xとの交点をPとする。ただし描く全ての円は合同

(1) cos36ﾟ=(1+√5)/4<br>cos36ﾟ=x とすると，△ABCにおいて余弦定理より<br>BC^2=3^2+3^2-2*3*3*x=18(1-x)...〈a〉<br>また，cos∠B=cos72ﾟ=2x^2-1<br>よって BC=2*3(2x^2-1)=6(2x^2-1)...〈b〉<br>〈a〉,〈b〉より<br>18(1-x)=36(2x^2-1)^2<br>⇔ (x+1)(2x-1)(4x^2-2x-1)=0<br>⇔ x=-1,1/2,(1±√5)/4<br>x＞0,x≠1/2 より　x=(1+√5)/4<br><br>(2) PS=√3-√2<br>A,P,Sは一直線上にあるので PS=AS-AP<br>つまり二つの円の半径の差なので PS=AR-AC<br>AC=√(1^2+1^2)=√2，AR=√(AC^2+1^2)=√3だから，PS=√3-√2<br><br>(3)<br>�T)直線Xが直線Yと線分AB上(点A,Bを含む)<br>で交点を持つとき<br>点Pは, 直線Xと直線Yの交点となる<br>�U)直線Xが直線Yと線分AB上(点A,Bを含む)以外で交点を持つ，あるいは直線Xと直線Yが平行のとき<br>1.点A(B)から直線Xに垂線を引き，直線Xとの交点をHとする<br>2.点Hを中心とした半径AH(BH)の円を描き，<br>直線AH(BH)との交点のうち，点A(B)でない方をA'(B')とする<br>3.A'(B')とB(A)を結んだときにできる，直線Xとの交点が点Pとなる<br>�V)直線Xと直線Yが一致するとき<br>線分AB上(点A,Bを含む)の任意の点が点Pとなる<br>

(1)の答え…頂点Aから辺BCに垂線を下ろしピタゴラスの定理を利用する。
cos36=xとすると、xは、8x^4-8x^2+x+1=(x+1)(2x-1)(4x^2-2x-1)=0の解。
1/2=cos60<cos36<cos30=√3/2であるから、x=(1+√5)/4 cos36=(1+√5)/4

(1+√5)/4

2.
APとACは同じ長さ√2
ASとARは同じ長さ√3
PS=AS-AP=√3−√2

3．
X上の任意の二点から、それぞれAまでの距離を半径とした円を作り、その2つの円のA以外の交点をCとおくとき、BCとXの交点がP

(1)
∠Bの二等分線とACの交点をDとし、BC=BD=AD=xとおく
△ABC∽△BCDから
x^2+3x-9=0
x＞0よりx=(-3+3√5)/2
よってcos36゜=(3/2)/x=(1+√5)/4

(2)
AQ=AP=AC=√2
AS=AR=√(1+2)=√3
PS=AS-AP=√3-√2

(3)
コンパスで点Bを支点にしてXに2点で交わるよう弧を書き、さらに足の長さを変えずその2つの交点それぞれを支点にしYと反対側に弧を書き、その2つの弧の交点と点Aを定規で結ぶ。その直線とXの交点が点P。

問３
点Aと点Bが直線Xに対して
違う側にある場合：
点Pは直線Xと直線Yの交点である。
（自明）

点Aと点Bが
直線Xに対して同じ側にある場合：

点Aから、直線Xに向かう垂線を引く。
直線Xと垂線の交点を点Cとおく。

点Aとは直線Xに対して反対側の垂線上に、
AC=A'Cとなる点Aをおく
（長さはコンパスで写し取る）

線分A'Bを引く。
線分A'Bと直線Xの交点が求める点Pである。