二本引けたら、三角形の内角の和が180°であることに矛盾する

PからXに対して垂線が複数引けると仮定する。
このうち2つを選び、Xとの交点をQ,Rとする。
このとき、PQRは直線でそれぞれ結ばれているため、三角形PQRが存在する。
このとき、三角形PQRの内角について考えると、角PQRおよび角PRQは90度。これより、角QPRは0度となるが、このような三角形は存在しない。
したがって、三角形PQRが存在し、かつ、三角形PQRが存在しないといえ、矛盾。
よって、直線XとX上にない点Pについて、PからXに対して引ける垂線は1本のみである。

2本以上垂線がひけると仮定する
そのすべての垂線は互いに平行であるが、1点Pを通るため矛盾する
よって題意は示された

・直線Ｘに対し点Ｐは一つ
・直線Ｘの始点〜終点までの平行線上に点Ｐが存在する
・複数の垂線が引ける
と仮定した場合、

Ｘから引かれる垂線は無数に存在するが、点Ｐを経由するものは、点がＰひとつしか存在しない一本に限られる。

Q.E.D？

�@点Pを通り、直線ＸにL１、L２、・・・、Lkのk本の垂線が引けたと仮定し、L１、L２、・・・、Lkと直線Ｘとの交点をそれぞれQ１、Q２、・・・、Qkとする。

�Ak=１の場合の証明。Pから直線Ｘに任意の線を引くと、０度<∠PQＸ<180度から、90度となる線は少なくとも１つは存在する。

�Bk≧２の場合、Q１、Q２、・・・、Qkから任意の２つQm、Qnを選び△PQmQnを考える。この時、∠PQmQnと∠PQnQmは、LmとLnが垂線である為、90度であり、三角形の内角の和は、180度であるから、∠QmPQnは０度となり、三角形は成立しない。

したがって、k≧２と置くことは矛盾する為、k=１に限られる。

「互いに平行な直線は交わらない」という明らかな事実すら使ってはいけない事はないと思うので、


点Pから直線Xに複数の異なる垂線が引けると仮定する
点Pは全ての垂線上にあることになる
全ての垂線は直線Xに垂直なので互いに平行であり、それらは互いに交わらない
したがって全ての垂線上にある点Pは存在せず、矛盾する

結局I.Tさんと同じような感じだけどこれが最も本質を突いている気がする。