ヒミツ

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与式を変形してa^2＝(c−b)(b^2＋bc＋c^2)　
左辺が正、かつbもcも自然数なので、c−bもb^2＋bc＋c^2も自然数、かつc−b＜b^2＋bc＋c^2　
aは素数であるからc−b＝1、b^2＋bc＋c^2＝a^2とわかる。
cを消去して3b^2＋3b＋1＝a^2、これを変形して3b(b＋1)=(a−1)(a＋1)・・・[A]　
bは素数であるから、a−1かa＋1のいずれかはbの倍数である。
よって自然数nを用いてa＝bn±1（以下複号同順）と書ける。
これを[A]に代入して整理すると、
b＝−(±2n−3)/(n^2−3)　
・n≧4ならば、（分母の絶対値）＞（分子の絶対値）となるため、bは整数にならない。
・n＝1,2,3において、bが整数になるのはn＝2のときのみであり、
　かつ素数となるのは複号のマイナスをとった場合に限られ、b＝7となる。
以上により、解は(a,b,c)＝(13,7,8)のみである。

a^2+b^3=c^3
式からc＞b

a^2=c^3-b^3
a^2=(c-b)(c^2+bc+b^2)
c-b＜c^2+bc+b^2、aは素数なので
c-b=1、c^2+bc+b^2=a^2
cを消去
(b+1)^2+b(b+1)+b^2=a^2
3b^2+3b+1=a^2・・・★
b=2のとき a^2=19より不適
a=2のとき b^2+b=1より不適
よってa,bは奇数(3以上)の素数
a=2n-1、b=2m-1とおく(n,m:自然数)
★より
3b^2+3b=a^2-1
3b(b+1)=(a+1)(a-1)
3(2m-1)2m=2n(2n-2)
3m(2m-1)=2n(n-1)
右辺は偶数、2m-1は奇数なのでmは偶数
m=2m'とおく(b=4m'-1、m:自然数)
6m'(4m'-1)=2n(n-1)
3m'(4m'-1)=n(n-1) ・・・☆
m'=1のとき 9=n(n-1)より不適
m'=2のとき 6・7=n(n-1)よりn=7
このとき a=2n-1=13、b=4m'-1=7よりどちらも素数なので適する(このときc=8)
m'≧3のとき
(4m'-1)-3m'=m'-1≧2より4m'-1は3m'よりも大きく、差は2以上
また4m'-1=b(素数)
したがって、3m'(4m'-1)を差が1である2つの自然数の積で表すことはできない
(2つの自然数のうち素因数に4m'-1を持つ方が、必ず他方よりも2以上大きくなる)
よってm'≧3のとき☆を満たすものはない

以上より、(a,b,c)=(13,7,8)のみ