鋭角って２つある方のどっち？

こうでしょうか。

すっきりですね

k=1,40でもすっきりすると思いますが、これでどうでしょう?

iPhone上で直接解いたのでどこかミスしてるかもしれません

いろいろと省いてしまった気もしますが･･････

一週間後、解答公開をしたいと思います。
とても長い間お待たせしてしまい申し訳ありません。
まだまだ解答を受け付けております。よかったら是非挑戦してみてください。

解答です。

条件から
直角三角形の斜辺は2√k、
sinθ_k=√(2k-1)/2√k
cosθ_k=√(2k+1)/2√k
よって、加法定理から
sin(α+θ_k)
=sinα√(2k+1)/2√k + cosα√(2k-1)/2√k
cos(α-θ_k)
=cosα√(2k+1)/2√k + sinα√(2k-1)/2√k
したがって
(√k)(sin(α+θ_k)-cos(α-θ _k))
={(sinα√(2k+1) + cosα√(2k-1)) - ( cosα√(2k+1) + sinα√(2k-1))} / 2
={(sinα√(2k+1) - cosα√(2k+1) ) - ( sinα√(2k-1) - cosα√(2k-1))} / 2
={(sinα√(2(k+1)-1) - cosα√(2(k+1)-1) ) - ( sinα√(2k-1) - cosα√(2k-1))} / 2
(f(k)={sinα√(2k-1) - cosα√(2k-1)}/2とおくと)
={f(k+1)-f(k)}
よって
Σ[k=1,60] {(√k)(sin(α+θ_k)-cos(α-θ_k))}
=Σ[k=1,60] {f(k+1)-f(k)}
={-f(1)+f(2)}+{-f(2)+f(3)}+{-f(3)+f(4)}+・・・+{-f(60)+f(61)}
=-f(1)+f(61)
=-(sinα-cosα)/2 + (11sinα-11cosα)/2
=10/2 (sinα-cosα)
=5(sinα-cosα)


加法定理を使って展開し、Σの計算ができるように整理するだけですね。
Σの計算は、kとk+1の式の引き算の形にして途中の項をほとんど消します。
このような方法は部分分数分解を使う和の計算などでもお馴染みですね。

本当は三角関数の合成変換を上手く使って式を整理する問題にしようとしたのですが、単純に加法定理で展開すれば解ける問題となりました。
そもそも合成自体が加法定理と同じようなものなので・・。
そういう意味では難易度4はちょっと高すぎたかも知れません。