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このクイズの参加者（7人）
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 円と四角い輪
難易度：★★★★
 Nighteck
2013/12/29 22:51
今年もあと少しですね。
以前自分で作った図形問題です。 問題文が少し長いですがお付き合いください。 xy平面上で、原点Oを中心とする半径1の円があり、円周上の第一象限のところに点P、Qがあります(x座標の小さい方からP、Qとします) P、Qを頂点にもち、全ての辺がx軸とy軸に平行である長方形を考えたとき、その長方形のPQ以外の残り2つの頂点のうち、円の内側にある方を点R、外側の方を点Sとします(長方形PRQSができます) 点R、Sをそれぞれ、 x軸対称にとった点をR'、S'、 y軸対称にとった点をR''、S''、 原点対称にとった点を点R'''、S'''とします また点Qをx軸対称にとった点をQ'とします(点Q'も円周上になります) ∠PQ'S=15゜であるとき、 長方形S''S'''S'Sから長方形R''R'''R'Rのをくりぬいた面積はいくつになるでしょう？ 参考までに、図を用意しました。 http://adad.webcrow.jp/picture1.html おまけ ∠PQ'S=9゜のときはどうなるでしょう？
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回答募集は終了しました。
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P(Px,Py),Q(Qx,Qy),Sによる長方形の面積をSs,Rによる長方形の面積をSr,x軸正方向の点をTとして、角TOQ=α,角TOP=βとする。
図より,Ss=4PyQx=4sinβ・cosα=2{sin(β+α)+sin(β-α)} Sr=4PxQy=2{sin(β+α)-sin(β-α)} したがって求める面積Ss-Sr=4sin(β-α)……① 円周角と中心角の関係より,角PQ'S=15度の時, β-α=角POQ=30度 ①に代入すると,求める面積は2である。 角PQ'Q=9度の時,β-α=18度なので 求める面積は4sin18度となる。 角A=108度,角B=角C=36度の二等辺三角形を考える。 辺BC上に,BA=BDとなるような点Dを考えると,三角相等より三角形ABC∽三角形DACとなる。 これより,BC=(1+√5)AB/2と求められる。 したがってcos36度=(1+√5)/4 sin18度=√{(1-cos36度)/2}=√{(6-2√5)/16}=(√5-1)/4 よって求める面積は√5-1となる。 
ちょっと長いですが
 
Nighteck
本問・おまけ正解です！
説明も完璧です。一番乗りおめでとうございます。
Nighteck
正解です。
暗算で出せるなんてすごすぎます・・・
Nighteck
おまけ正解です。
うまく図を描くと値が求まるんですよね。 弧PQの中心角が30°であればいい。PQの位置は固定ではないので、Pが(0,1)になるようにすれば、求めるのは中の空いてない縦2×横1の長方形になるので、面積2
おまけは中心角が18°なので、sin18°=((√5)-1)/4を検索で求めました。
暗算の秘密
Nighteck
なるほど・・・確かにそうすれば簡単に答えが出せますね！
面積が必ず一定であることを示せますか？ 答え…2
・cosθcos(60-θ)-sinθsin(60-θ)=cos60=1/2 ・1/2×4=2
ばたばたしている最中なので、説明は省いて計算式と答えだけ。
来年もよろしく。 
Nighteck
本問、正解です！
計算式だけでわかりますよ。 年を越したので・・・今年もよろしく！ おまけの答え… √5-1
15度の場合と同様に計算すれば、 cos72=(√5-1)/4 , (√5-1)/4×4=√5-1
Nightechさん、明けましておめでとうございます。本年もよろしく。
やっと一息つけたのでおまけの答えを。 15度の場合と違って、数値にするのがちょっと厄介。
Nighteck
おまけ、正解です。
今年もよろしくお願いします。 面積は 4sin(2*∠PQ'S) となりますので
15゜のときは 4sin30゜で 2 9゜のときは ～1.236
図を見てピンとくると気持ちがいいですね
Nighteck
本問 正解です。
おまけは、できればルートなどを使って出して頂きたいです。 Ｏを原点とすると、∠ＰＱ' Ｓ＝15°なので、円周角の定理より、∠ＰＯＱ＝30°。
∴Ｐ(cos(t＋30°),sin(t＋30°)),Ｑ(cost,sint)(tは実数)とおける。 四角形Ｓ''Ｓ'''Ｓ'Ｓ,Ｒ''Ｒ'''Ｒ'Ｒの面積をそれぞれＡ,Ｂとすると、 Ａ＝4×cost×sin(t＋30°) ＝2√(3)sintcost＋2cos＾2 t Ｂ＝4×cos(t＋30°)×sint ＝2√(3)sintcost－2sin＾2 t ∴Ａ－Ｂ＝2sin＾2 t＋2cos＾2 t ＝2 ∴求める値は２
大変分かりやすい図のおかげで解くことができました。
Nighteck
本問正解です。
そう言っていただけると嬉しいです^^
Nighteck
おまけは、かなりおしいです。
どこかで計算ミスをしてるかもしれません。
Nighteck
正解です。
x軸とOQとのなす角をa°とすると
4(cosa°cos(60°-a°)-sina°sin(60°-a°)) =4cos60° =2 おまけは4cos60°の60°を72°に変えるので4cos72° 角度が72°,72°,36°の二等辺三角形の辺の比は1:1:(1+ルート5)/2になるから 4cos72°=4/(1+ルート5) 答え 2, おまけ1/(1+ルート5) あってますか?
計算するの面倒くさい…
Nighteck
本問は正解です。
おまけは少し違いますよ。
解答発表です。
この図形は、x軸、y軸に対して対称なので、第一象限内の面積を4倍すればよいことになります 円周角の定理から∠POQ=30° x軸の正の向きとOQのなす角をα°とおく 求める面積は (長方形S''S'''S'S)-(長方形R''R'''R'R) =4×{(x軸、y軸、点Sで作られる長方形)－(x軸、y軸、点Rで作られる長方形)} =4×{sin(α°+30°)cosα°－cos(α°+30°)sinα°} =4sin(α°+30°-α°) =4sin30° =2 おまけ 円周角の定理から∠POQ=18°となり、あとは同様に計算すると 求める面積が4sin18°となります このsin18°の求め方を知っているかどうかが、このおまけ問題の本質です。 sin18°の求め方は・・・ ①二等辺三角形から ∠A=36°、∠B=72°∠C=72°、AB=AC=1の二等辺三角形ABCで BC=BDとなる点DをAC上にとると ∠CDB=∠BCD=72°より∠DBC=36° よって△BCDは△ABCと相似 また∠ABD=36°より△ABDはAD=BDの二等辺三角形 よってBC=BD=AD BC=BD=AD=xとおくと、△BCDと△ABCの相似から 1-x:x = x:1、 x2+x-1=0 x>0なのでx=(√5-1)/2 AからBCに下した垂線の足をEをすると、BE=BC/2=(√5-1)/4 よって、sin18°=(√5-1)/4 ②等式から 18°×5=90°を利用して θ=18°とおくと sin2θ=cos3θ 2sinθcosθ=4cos3θ-3cosθ 両辺をcosθで割ると 2sinθ=4cos2θ-3 2sinθ=4(1-sin2θ)-3 4sin2θ+2sinθ-1=0 0<θ<π/2よりsinθ>0なので sinθ=sin18°=(√5-1)/4 おまけの答えは4sin18°=√5-1です。 最初にαとおいた角度が、計算していくとキレイに消えてしまいます。 この図形の面積はαの値によらないのです。 中心角さえ決まれば、円周上の2点PQの位置によらず面積は一定になる。なんだか不思議じゃありませんか？ これが幾何学的に何か意味をもつのかはわかりません。 三角関数を使った図形問題を作ろうとしていたとき、計算をしていく過程でこのような結果を得られたので、これは面白いと思い問題にしてみました。
直線S''R''を引く．
PQ // S''R'' // P'''Q''' だから，六点 PS''Q'''P'''R''Q で囲まれる図形 X を， 二つの平行四辺形 PS''R''Q と Q'''S''R''P''' に分けて，直線 S''R'' 上を等積変形すれば， 長方形 PQ'''P'''Q の面積に一致する． 同様に六点 PR'Q'''P'''S'Q で囲まれる図形 Y も長方形 PQP'''Q''' に等しい． X ，Y は三角形 PQR と三角形 P'''Q'''R''' の部分が重なっているが， それぞれ三角形 PQS と三角形 P'''Q'''S''' に等しいので、 X と Y を合わせた面積は求める面積に一致する． つまり求める面積は，PQ を一辺に持つ半径 1 の円に内接する長方形の面積の倍であり， PQ（or 弧 PQ に対する中心角 or 円周角）が等しければ，面積一定である． PQ の長さと中心から PQ までの距離を与えれば， 頑張れば小学生でも解けるってことですね．
Nighteck
なるほど、納得しました。ご説明ありがとうございます
賢い小学生が解けるなら算オリのやや易問くらいになら出せそうですね。 |
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