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受験算数の図形問題(久々に上陸)

難易度：★★ 　

m4a 2013/12/25 21:40

It's been ages.

中3受験生になりました、m4aです。
あの時と色々と僕の身に変化が起こりました。偏差値が突然10上昇しました。英検準1級にもう少しのところで落ちました。
今回は、まさかの(受験)算数の問題を出そうと思います。
もちろん、数学で解いても結構です。算数で解くのがベストですが…

「受験算数」での図形の取り扱いについて

私立中学校での算数の扱いとほぼ同じですが、誤解を生じないように定義しておきます。
・合同・相似を使うことができます。
・ただし、三平方の定理は使えません。
・「3:4:5」の三角形は例外です。
・比例式の内積と外積の関係は使えます。
・C、Pは使えます。
・「2:1:√3」は、「2:1」の部分のみ使えます。
・当然、三角比やベクトルは使えません。
もちろん、これらを守らずに数学でバシバシ解いていっても構いませんが…（

ヽ( ゜ﾟ)ノ <This is for you!（では、問題です。）

ちなみに、m4aは今年の8月になんとなくうけた数検2級に合格しました。いやぁ、採点甘いですね。

　　　　　　　　

　　　　　　　　1.
　　　　　　　　1辺が 1cm の正六角形の面積を 2.6cm² とします。
　　　　　　　　1辺が 2cm の正十二角形の面積は何cm²ですか。

　　　　　　　　2.
　　　　　　　　四角形ABCDは AD//BC を満たす台形で, AB=CD=AD, BC=8cm です。
　　　　　　　　∠BAD=150° のとき, 四角形ABCDの面積は何cm²ですか。

　　　　　　　　3.
　　　　　　　　立方体ABCD-EFGHにおいて, BF, BC, CD の中点をそれぞれ P, Q, R とします。
　　　　　　　　∠PQR は何度ですか。

　　　　　　　　4.
　　　　　　　　⊿ABCは, ∠B=90°, AB=6cm, BC=8cm, AC=10cm です。
　　　　　　　　いま、AC=AD, ∠CAD=90° となるように⊿CADを作ります。
　　　　　　　　DからBCに降ろした垂線の足をHとするとき、CHの長さは何cmですか。

　

ところで全く関係ないんですが、最近(8月ごろ)SDVXを始めました。実力スキアナLv.7ぐらいでしょうか。
かってに君は半角で(問題番号)+(:)+(単位なしで答えの数値)を書き込むと反応します (^^)

例: 1.の答えが 3/8cm² なら、 1:3/8 で反応します。
図形問題は放置しておくと突然解法が思いつくことがよくありますので、
諦めずに是非頑張って解いてみてください。
IIDXから来たので鍵盤が大得意です。大宇宙のつまみができない。
Kan du loesa det?
（君にこれが解けるかな？）




	【レスを参照】

正解!　(★1)	【1:44.8】
正解!　(★2)	【2:8】
正解!　(★3)	【3:120】
正解!　(★4)	【4:2】

回答募集は終了しました。

▲ △ ▽ ▼ No.1

ヒミツ

m4a 2013/12/25 21:41

勝手にくんテスト

ああ、このサイト懐かしいなぁ…

正解!　(★1)

▲ △ ▽ ▼ No.2

ヒミツ

I.T 2013/12/25 23:06

計算が大変

m4a ...小数点第2位以降で何が起きてるのかわかりませんw

▲ △ ▽ ▼ No.3

ヒミツ

I.T 2013/12/25 23:11

ふむふむ

正解!　(★2)

▲ △ ▽ ▼ No.4

ヒミツ

I.T 2013/12/25 23:15

3ばん

正解!　(★3)

▲ △ ▽ ▼ No.5

ヒミツ

I.T 2013/12/25 23:20

4ばん

m4a ２つ?

▲ △ ▽ ▼ No.6

ヒミツ

I.T 2013/12/25 23:21

あ、延長線上はだめなのかな？

m4a △ACDの向きが逆になる、もしくは垂線を求めるとこの答えになりますね (^^)

▲ △ ▽ ▼ No.7

ヒミツ

I.T 2013/12/25 23:22

求める場所まちがえてました (^^;)

正解!　(★4)

▲ △ ▽ ▼ No.8

ヒミツ

I.T 2013/12/25 23:38

ここまで綺麗になりました (^^;)

上の変な解は、初っ端から代入してごり押し計算してました(笑

m4a 正解!　(★1)

そういや、かってに君に分数を指定しわすれていました(

▲ △ ▽ ▼ No.9

ITEMAE 2013/12/25 23:39

とりあえず、過去問の始末を (^_-)

。

m4a あっ...そういえば過去問がひとつ開いたままでしたね (^^;)

処理して来ます

▲ △ ▽ ▼ No.10

ヒミツ

ココノカ 2013/12/26 01:44

パズル的な思考が入っていたのだが (^^;)

m4a うーん、だいぶ違いますね (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.11

ヒミツ

きさまどさん 2013/12/26 16:45

あれれ

m4a ふむふむ...

▲ △ ▽ ▼ No.12

ヒミツ

河野真衣 2014/01/02 15:35

取り敢えず 1. だけ禁止事項は使わずにやりました。計算式を書いておきます。どうかな?

m4a 正解!（★2）

知ってましたか… (^^;)

▲ △ ▽ ▼ No.13

ヒミツ

河野真衣 2014/01/03 14:13

2.3.4.です。中学生がお年玉の増額を狙ってやってくれました。説明は煩雑になりそうなので、答えだけ書いておきます。さてどうでしょう?　 (^o^)

m4a 正解!（★2, ★3, ★4）

というか2.の別解に初めて気が付きました…すみません (^^;)

文句なしで正解です。
増額してあげてくださいね（（

▲ △ ▽ ▼ No.14

m4a 2014/01/12 20:53

解答を公開します

1.
<<算数で>>
正十二角形は、下のページのように、中心に正六角形1つ、その周りに正方形と正三角形のペアが6つくっつく形をしています。
また、正六角形は正三角形が6こでできています。
だから、1辺1cmの正六角形の面積は、2.6*2 + 6 = 11.2
1辺2cmなので、これを2×2=4倍して、44.8(cm²)
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q14110321574

<<数学で>>
1辺が1の正十二角形の外接円の中心(半径r)をOとし、各頂点とOを結ぶと、頂角が30°で等辺がrで底辺が1の二等辺三角形が12個できる。
この二等辺三角形に余弦定理を用いて、r=2+√3
S=(1/2)*r²*sin30=(2+√3)/4
正十二角形の面積はこれを12倍して3(2+√3)=6+3√3
あとはご自由に。

2.
<<算数で>>
台形を左右まっぷたつに半分に分割します。
できた図形を、三角定規と正方形を組み合わせた形にします。
ここに、図のように三角定規を4分割し、正方形にうまくくっつけて正方形を作ると、
この正方形の面積は2×2=4だから、求める面積は8cm²
https://twitter.com/Morojenium/status/422333847011733504/photo/1

<<数学で>>
三角定規と正方形を組み合わせた形にしたあと、正方形の一辺をxとおき、
BC=8cmであることを利用してxの方程式を作り、xを求めて面積を求める。

3.
<<算数で>>
求める角度は図のような正六角形の平面上にあるから、120°
https://twitter.com/Morojenium/status/422334199496863744/photo/1

<<数学で>>
立方体の1辺を2cmとし、⊿PQRに余弦定理を適用して∠PQRを求める。

4.
<<算数で>>
図のように合同な三角形を作って、8-6=2(cm)
https://twitter.com/Morojenium/status/415324745823838208

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